逆元 定义：若 \(ax\equiv 1\pmod b\) 且 \(a\) 与 \(b\) 互质，那么我们就能定义 \(x\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\) ，所以我们也能称 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\pmod b\) 意义下的倒数，此时我们对于 \(\dfrac{a}{b}~\pmod p\)，我们就可以求出 \(b\) 在 \(\pmod p\) 意义下的逆元，来代替
@(概率论) 文章目录 前言数学期望定义离散型的定义连续型的定义 例题定理推广例题性质例题 方差定义离散型的方差公式连续型的方差公式 公式及其证明定理标准化变量例题标准化变量（0-1）分布泊松分布均匀分布指数分布二项分布正态分布(高斯分布) 切比雪夫不等式性质 协方差及
【全程NOIP计划】数学推导选讲 常见不等式 柯西不等式 对于数列a和b,有以下恒成立 \[\sum_{i=1}^na_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 \ge (\sum_{i=1}^na_ib_i)^2 \]令 \(A=\sum a_i^2,B=\sum a_ib_i,C=\sum b_i^2\) 构造以下式子 \[f(x)=Ax^2+2Bx+c=\sum(a_ix+b_i)^2 \ge 0 \\ a_i^2x^2+2
约数个数和 题目链接：luogu P3327 题目大意 给你 n,m 要你求 ∑i=1~n∑j=1~m d(ij)，d 是约数个数。 多组数据。 思路 首先由一个比较神奇的东西： \(d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)=1]\) 这里证明一下： 先看我们可以只看一个质数的部分。 假设它的因子的出现次数是
二项式定理与组合恒等式 前置知识 \[\dbinom {n} {k} = \mathrm{C} _ n ^ k = \dfrac {n!} {(n - k)! \times k!} \]二项式定理 二项式定理：设 \(n\) 是正整数，对于一切 \(x\) 和 \(y\) \[{(x + y)} ^ n = \sum \limits _ {k = 0} ^ n \dbinom {n} {k} x ^ k y ^{n - k} \]常用形式
塔纳 题目链接：学军NOIP开放题2-A 题目大意 给你 n，问你长度为 n 的每个排列的逆序对个数的和。 思路 考虑 DP，设 f i f_i fi 为
1 Backpropation 反向传播算法 我们在学习和实现反向传播算法的时候，往往因为其计算的复杂性，计算内涵的抽象性，只是机械的按照公式模板去套用算法。但是这种形式的算法使用甚至不如直接调用一些已有框架的算法实现来得方便。 我们实现反向传播算法，就是要理解为什么公式这么写，为什么
第一章 概率论基础知识 机会性游戏：随即发生器（投硬币，掷骰子） 基本的统计方法：估计和检验 1.1 样本空间与随机事件 随机试验： 定义（三条件）： 可重复结果不止一个，可知一切结果试验前不知结果，试验后可知结果 案例一 选驸马（“37%”规则） 目标函数：选到
P3232 [HNOI2013]游走 \(\text{Description}\) 给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向连通图。从 \(1\) 号节点出发，每一步以相等的概率 随机 选择当前节点连出去的某条边，经过这条边走到下一个节点，获得等于这条边的编号的分数。到达 \(n\) 号顶点时结束。请对这 \(m\) 条边进行编号
给定 \(n\) 元一次方程组 \[\begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2+\cdots+a_{n,n}x_n=b_n\\ \end{cases} \]请求出方程组的解的情况： 无解； 无穷多解； 唯一解。 对于
给定起点 \(S\)，终点 \(T\)，和范围 \(N\)，每次可以花费 \(A\) 代价使当前位置 \(+1\)，或花费 \(B\) 的代价随机传送到 \(N\) 个位置中的一个。问期望最优花费多少代价。 非常数学的一道期望题。 首先可以观察到 \(2\) 操作相当于重排，所以 \(2\) 操作之前不会进行 \(1\) 操作。 所以
作为一个常数非常小且非常好写的数据结构，树状数组（Binary Index Tree, BIT）自然受到了很多选手的青睐。除了众所周知的区间加区间求和，树状数组还能代替常数巨大的线段树做不少事情，如维护高维差分或在 BIT 上二分，是卡常的不二选择。 本篇文章主要介绍最近碰到的树状数组维护高维差分
【模板】杜教筛（Sum） 题目链接：luogu P4213 题目大意 要你求 φ 函数的前缀和和 μ 函数的前缀和。 （分别是欧拉函数和莫比乌斯函数） 思路 前置知识（们） 积性函数：对于两个互质的数 \(x,y\)，\(f(xy)=f(x)f(y)\)，那 \(f\) 就是积性函数。 完全积性函数：对于任意两个整数 \(x,y\)，\(f(xy)=f(x)f(
T1 数独（WOJ4218）\(\color{green}{100}\) 小模拟/cy，45min左右就调完了。 code: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define in read() inline int read(){ int p=0,f=1; char c=getchar(); while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c
[Ynoi2017] 由乃的玉米田 题意 给定一个序列，回答四种询问，判断一个数是否能够由一个区间中两个数进行加减乘除中的一种运算得到，无解输出 \(-1\) 。 题解 首先使用莫队。 加减操作使用莫队与两个 bitset 简单维护， 复杂度为 \(\dfrac{nm}{w}\)。 乘操作考虑暴力分解质因数然后查询两
题目 ABC221G 大意是你初始在\((0,0)\)，给你一个目标点\((X,Y)\)和一个序列\(D_i\)，第\(i\)次你可以选择上下左右四个方向中的一个前进\(D_i\)个单位，问是否可以到达\((X,Y)\)。 Sol 直接做显然不好做。 考虑转化：把坐标系顺时针旋转\(45\)度，目标点坐标变为\((\dfrac{X+Y}{2},\dfrac{Y
之前在 loj 上写题目的时候碰到的一些问题，在这里记录一下解决方法。 \(\lfloor\dfrac{n}{i^k}\rfloor\) 这种类型的时间复杂度是 \(O(n^{\frac{1}{k+1}})\) 的。 当 \(i< n^{\frac{1}{k+1}}\) 的时候，只有 \(O(n^{\frac{1}{k+1}})\) 种取值。 当 \(i > n^{\frac{1}{k+1}}\)
洛谷题面 考前写题解 \(\rm rp++\)。 题目大意 给定 \(n\) 个数 \(a[1\cdots n]\) 问你满足 \(a[i]\times a[j]\times a[k]\) 的值最小，且 \(i<j<k\) 的有序对有几个？ 题目分析 很妙的一道题。 来一个 \(\operatorname{O(n~log~n)}\) 的做法。 看到求三个数相乘的最小值，再看到 \(3\l
均值不等式 条件：\(a_i\ge0\)。 平方平均数：\(Q_n=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{n}}\) 算数平均数：\(A_n=\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\) 几何平均数：\(G_n=\sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}\) 调和平均数：\(H_n=\dfrac{n}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}}\) 他们之间的关系：\(H_n\le G_n\l
题目 Luogu darkbzoj Sol 提供一个不用高级计算几何技巧的写法。 感觉和\(Atcoder\ ABC220G\)比较相似。 把全部的直线求出来。 考虑两条直线满足什么条件才会构成一个矩形的对边： 两条直线的中垂线完全相同 原本的两条直线不重合 两条直线长度相同 那就好办了：把所有的\(\dfrac{n
目录题解链菊花图特殊情况注意事项 有翻译的传送门，可以点到原题 orz _ztyqwq, SIGSEGV. 给定 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，要求你给每个节点赋正权值 \(a_i\)，使得至少有一个节点有非零权值，且： \[\sum_{i=1}^n a_i^2 \le \sum_{i=1}^m a_{u_i}a_{v_i} \]其中 \((u_i,v_i)\) 是图中
题意 有一个随机数生成器, 每个数生成的概率是 \(\dfrac{a_i}{\sum a_j}\), 求第一次使得每个数至少出现了 \(b_i\) 次的时候总生成次数的期望. \(\sum a_i,\sum b_i \le 400\) 题解 设 \(p_i=\dfrac{a_i}{\sum a_j}\) , 即生成 \(i\) 的概率 考虑 \(\min-\max\) 容斥, 令 \(g\lef
朝鲜时蔬 的一些力所能及的证明 题意 \(~~~~\) 包含 \(1\sim n\) 的所有元素的集合，有多少个 \(m\) 阶子集，这个 \(m\) 阶子集的和能被最多该集合的 \(k\) 阶子集和整除。 \(~~~~\) \(1\leq k\leq m\leq n\leq 10^{12},1\leq m\leq 4\) 题解 \(m=1,k=1\) \(~~~~\) 任选集合一定成立，
前言 今天模拟赛，出了一个带修改的求重心的题，标算是一个维护次大子树和次次大子树加上倍增的 such a s**t ，但是过的人的代码一百行不到。。。神 Mer 说去年有一道 nb 题用过这个性质，被吊打了。。 重心和 dfs 序的关系 一个结论，对于一个大小为 \(n\) 的树，必定存在的一个点，而且这个点
题目链接 题目链接 题意 求 \(i\perp j\to p_i\perp p_j\) 的排列个数，部分位置钦定。\(n\leq 10^6\) 题解 首先质因子集合相同的数可以连边，其次我们可能会将两个 \(\lfloor \dfrac{n}{p_i}\rfloor\) 的质数 \(p_i\) 进行替换。那么没有钦定任何 \(p_i\) 是，将 \(1\) 看作一个大质数
