P4318 完全平方数 Description 多测，\(T\) 组数据； 每次给出一个整数 \(k\)，求第 \(k\) 小不含平方因子的数（注意：\(1\) 不算平方因子）； \(1\le k\le 10^9, T\le 50\)。 Solution \(n\) 不含平方因子意味着 \(\mu^2(n) = 1\)，而且 \(1\) 也正好满足。 我们设 \[S(n) = \sum_{i = 1}^n \m
P3700 [CQOI2017]小Q的表格 Description 有一个无穷多行，无穷多列的表格，行列从 \(1\) 开始标号，第 \(a\) 行 \(b\) 列有一个整数 \(f(a, b)\)； \(f(a, b)\) 应满足： \(\forall a, b \in \mathbb{N}^*, f(a, b) = f(b, a)\)； \(\forall a, b\in \mathbb{N}^*, b\cdot f(a, a + b) = (a
P3700 [CQOI2017]小Q的表格 Description 有一个无穷多行，无穷多列的表格，行列从 1 1 1 开始标号，第 a
P1587 [NOI2016] 循环之美 Description 给定十进制数 \(n, m, k\)，求在 \(k\) 进制下有多少个 值不相等 的 纯循环 小数可以用分数 \(\dfrac{x}{y}\) 表示，其中 \(1\le x\le n, 1\le y\le m, x, y \in \mathbb{N}^*\)。 \(1\le n, m\le 10^9, 2\le k\le 2\times 10^3\)。 Solution
必修第一册同步拔高练习，难度3颗星！ 模块导图 知识剖析 基本不等式 若\(a>0\),\(b>0\)，则\(a+b \geq 2 \sqrt{a b}\) (当且仅当\(a=b\)时，等号成立). (1)\(\dfrac{a+b}{2}\)叫做正数\(a ,b\)的算术平均数， \(\sqrt{a b}\)叫做正数\(a ,b\)的几何平均数. (2)基本不等式的几何证明 (
文章目录 高斯函数定义定理例题 n的阶乘(n!)的标准分解式引理定理例题 End 高斯函数 定义 设 x \,x\, x为任意实数，把不超过
显然有 \(F_n = f_{n - 1}a + f_{n}b = km\)，转化一下得 \(-\dfrac{a}{b}\equiv \dfrac{f_{n}}{f_{n - 1}}\pmod m\)。 如果 \(m\) 是质数，我们直接预处理将等式右边塞到桶里，对于询问直接在桶里查询即可。 但是 \(m\) 不是质数，等式左右可能不存在逆元，所以我们想办法让 \(b,f_{n - 1}
我喜欢 $ 题，哕哕哕。 只找一天一节课听。 Day 1 直觉与证明 我直觉证明了个锤。 题太多不想补了。 CF1267G Game Relics 有一个可能太简单导致不好发现的结论，当前状态如果选择了随机抽，那么会随机抽直到抽到一个。 根据这天讲的 canonicalize（决策规范化），我们考虑将两个操作分开执行（
P5176 公约数 Description 多测，\(T\) 组数据。 给定 \(n, m, p\)，请求出 \[\left[ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \sum_{k = 1}^p \gcd(ij, ik, jk)\cdot \gcd(i, j, k)\cdot \left(\dfrac{\gcd(i, j)}{\gcd(i, k)\cdot \gcd(j, k)} + \dfrac{\gcd(i, k)}{\gcd(
椭圆的标准方程准确来说是在这个位置摆放的椭圆的方程。 图中的 \(C\) 是一个动点，椭圆的一个定义是，\(|AC|+|BC|=定值\)，一般设这个定值为 \(2a\)。 \(|AB|\) 称为焦距，一般设为 \(2c\)。 一般设一个 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)，可以看出在图中所示的位置 \(|CD|=b\)。 很容易可以看出 \(b
Version 1 UVA11417 GCD Description 多测，\(t\) 组数据。 给定整数 \(n\)，求 \[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = i + 1}^n \gcd(i, j) \] \(1\le t\le 100, 1\le n\le 501\)。 Solution \(\Omicron(n^2)\) 暴力。 Code 略。 Version 2 UVA11424 GCD - Extreme (I) SP3871 G
前言 云剪切板 link cnblogs 我相信你！所以我把所有博客题解链都展开了！ 有删改 ああウー…… 转载请注明出处 . 概率期望小记 为了省空间，代码压缩了（用的 Mivik 的代码压行机），想看可以自己格式化一下 . 缺省源：头文件 （\(14,15\) 题缺省高斯消元） 映射表 题号 A B C D E F G H I J
选择性必修第一册同步拔高，难度3颗星！ 模块导图 知识剖析 1 求空间角 \((1)\)求异面直线\(a\),\(b\)所成的角 已知\(a\),\(b\)为两异面直线，\(A\),\(C\)与\(B\),\(D\)分别是\(a\),\(b\)上的任意两点，\(a\),\(b\)所成的角为\(θ\)，则\(\cos \theta=|\cos <\overrightarrow{A C}, \ove
注：若无说明，数值范围均为\mathbf{Z}Z的子集 \large\texttt{欧几里得算法}欧几里得算法若a<b,\gcd(b,a\bmod b)=\gcd(b,a)=\gcd(a,b)a<b,gcd(b,amodb)=gcd(b,a)=gcd(a,b) 若a\geqslant b,a=q\times b+r,0\leqslant r<ba⩾b,a=q×b+r,0⩽r<b r=a\bmod br=amodb 对于a,ba,b的任意公约
Lucas的数论 Description 给定整数 \(n\)，求 \[\left[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n d(ij)\right] \bmod (10^9 + 7) \] 对于 \(100\%\) 的数据 \(n\le 10^9\)。 Solution \[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n d(ij) & = \sum_{i = 1}^n \sum_{
Lucas的数论 Description 给定整数 n n n，求 [
一. 普通连分数 一. 连分数的定义 连分数 \(x\) 一般用数列来表示：\(x=[a_0;a_1,a_2,\dots ,a_n]\)，意为 $ \displaystyle a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{a_3+\dfrac{1}{\ddots+\dfrac{1}{a_n}}}}}$。 它的重要作用就是求近似。 举个例子。 \(\dfrac{45}8=5.625\)。将
洛谷题面 题目大意 给定 \(a,b,d\)，求 \[\sum\limits_{i=1}^a\sum\limits_{j=1}^b[\gcd(i,j)=d] \]题目分析 令 \(a\le b\)。 显然先把 \(d\) 消掉（令 \(a'=\left\lfloor\dfrac{a}{d}\right\rfloor,b'=\left\lfloor\dfrac{b}{d}\right\rfloor\)）： \[\sum\limit
Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 神仙题。 首先我们每次肯定会按 \(1\sim k\)，\(k+1\sim 2k\)，\(2k+1\sim 3k\) 的顺序选择勘测的洞穴，显然如果出现两个洞穴在某一时刻被勘测次数差 \(\ge 2\) 那肯定是不优的，这个感性理解一下即可。 那么我们假设 \(E_i\) 为在
第六章 大数定律和中心极限定理 6.1 大数定律 6.1.1 马尔可夫不等式 设随机变量 \(X\) 存在 \(E|X|^k\)，\(k>0\)，则对任意 \(\varepsilon>0\)，成立： \[P\{|X|\geq \varepsilon\}\leq \dfrac{E|X|^k}{\varepsilon^k}\quad k>0\\ P\{|X-EX|\geq \varepsilon\}\leq \dfrac{E|X-EX|^k
第七章 统计量及其分布 7.1 总体与样本 7.1.1 总体与个体 总体：具有一定共同属性的研究对象的全体； 个体：组成总体的每一个元素 在实际中我们主要关心的是： 研究对象的某一（或某几项）数量的指标 \(X=X(\omega)\)，它是一个随机变量。 总体：随机变量（数量指标） \(X\) 的全体取值构成的集合。
第九章 假设检验 9.1 假设检验的概念 先对总体的参数或总体的分布形式作某种假设 \(H_0\)，然后由抽样结果推断假设 \(H_0\) 是否成立。 在数理统计学中，称检验假设 \(H_0\) 的方法为假设检验。 参数的假设检验 分布的假设检验 检验假设的理论依据 实际推断原理： 小概率事件在一次试
第十一章 平稳过程 11.1 严平稳过程 11.1.1 严平稳过程的定义 对于任意实数 \(\varepsilon\)，如果随机过程 \(\{X(t), t\in T\}\) 的任意 \(n\) 维分布满足： \[\begin{aligned} & F(x_1, x_2, ..., x_n; t_1, t_2, ..., t_n)\\ = & F(x_1, x_2, ..., x_n; t_1 + \varepsilon, t_2
洛谷题面 较为简单，但还是因为细节问题挂了几发。 题目大意 有 \(n\) 个数 \(w_1,w_2,\cdots,w_{n-1},w_n\)，若有 \(k\) 个 \(w\) 值满足存在一个数 \(x\) 使得 \(2^x\) 为这 \(k\) 个 \(2^w\) 的和，则这一组合是合法的，我们希望找到最小的组数 \(m\)，使这 \(n\) 个 \(w\) 组成 \(m\)
高一同步拔高，难度3颗星！ 模块导图 知识剖析 对数的概念 ① 概念 一般地，如果\(a^x=N\)(\(a>0\),且\(a≠1\))，那么数\(x\)叫做以\(a\)为底\(N\)的对数，记作\(x=log_a N\).**** (\(a\)底数，\(N\)真数，\(log_a N\)对数) ② 两个重要对数 常用对数以\(10\)为底的对数，\(\log_{10}N\)记为\(
