标签：dfrac 函数 limits luogu Sum 杜教 mu epsilon sum

【模板】杜教筛（Sum）

题目链接：luogu P4213

题目大意

要你求 φ 函数的前缀和和 μ 函数的前缀和。
（分别是欧拉函数和莫比乌斯函数）

思路

前置知识（们）

积性函数：对于两个互质的数 \(x,y\)，\(f(xy)=f(x)f(y)\)，那 \(f\) 就是积性函数。
完全积性函数：对于任意两个整数 \(x,y\)，\(f(xy)=f(x)f(y)\)，那 \(f\) 就是完全积性函数。

一些积性函数：\(\varphi,\mu,d,\sigma\)
（分别是欧拉函数，莫比乌斯函数，约数个数，约数个数和）
一些完全积性函数：\(\epsilon,I,id\)
\(\epsilon(n)=[n=1],I(n)=1,id(n)=n\)

狄利克雷卷积：
有两个函数 \(f,g\)，它们的狄利克雷卷积：\((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})\)

不难看出，它满足交换律和结合律。
然后单位元就是 \(\epsilon\)。

然后又一些性质：（根据定义简单推一推都不难看出）
\(\mu*I=\epsilon\)
\(\varphi*I=id\)
\(\mu*id=\varphi\)

莫反：

如果 \(g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\)
那么 \(f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)g(\dfrac{n}{d})\)

这个地方的证明其实可以用 \(\mu*I=\epsilon\)

给出条件相当于 \(g=f*I\)

然后 \(g*\mu=f*I*\mu=f*\epsilon=f\)。

杜教筛

杜教筛就是用来求积性函数的前缀和 \(sum(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)\)

考虑再找一个积性函数 \(g\)，求他们的狄利克雷卷积：
\(\sum\limits_{i=1}^n(f*g)(i)\)
\(=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{i}{d})\)
\(=\sum\limits_{d=1}^ng(d)\sum\limits_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}f(i)\)
\(=\sum\limits_{d=1}^ng(d)sum(\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor)\)

然后考虑 \(g(1)sum(n)\)，根据前缀和：
\(=\sum\limits_{i=1}^ng(i)sum(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor)-\sum\limits_{i=2}^ng(i)sum(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor)\)
\(=\sum\limits_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum\limits_{i=2}^ng(i)sum(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor)\)

那这个式子就是我们杜教筛要用的式子了。

有什么用呢，大概就是对于每个你要求的 \(f\)，如果你能找到一个合适的 \(g\)，它和 \(f\) 乘起来很好算而且 \(g\) 也好搞的话就可以拿来用。

就这题的例子，\(\mu*I=\epsilon\)，所以左边部分就 \(\epsilon\) 的前缀和是 \(1\)，然后右边你可以用整除分块 \(O(\sqrt{n})\) 搞。
然后 \(\varphi*I=id\)，然后左边部分就 \(id\) 的前缀和是 \(\dfrac{(1+n)n}{2}\)，右边也是整除分块过去。
（然后这两个右边 \(g(i)\) 因为是整除分块也可以同前缀和求出，因为是 \(I\) 所以就是 \(r-l+1\)，即块的大小）

然后你可以预处理出 \(n^{\frac{2}{3}}\) 以内的结果，复杂度就可以压到 \(O(n^{\frac{2}{3}})\)。
（然后你还可以用 \(map\) 弄个小小的记忆化）

代码

#include<map>
#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

//const int Maxn = 1664511;
const int Maxn = 2000000;
int T, np[Maxn + 1], prime[Maxn + 1];
int miu[Maxn + 1], x;
ll phi[Maxn + 1];
map <int, int> ans_miu;
map <int, ll> ans_phi;

void init() {//预处理 n^{2/3} 的部分
	miu[1] = phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= Maxn; i++) {
		if (!np[i]) {
			prime[++prime[0]] = i;
			miu[i] = -1;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= Maxn; j++) {
			if (i % prime[j]) miu[i * prime[j]] = -miu[i], phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1), np[i * prime[j]] = prime[j];
				else {
					miu[i * prime[j]] = 0, phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j], np[i * prime[j]] = prime[j];
					break;
				}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= Maxn; i++)//前缀和起来
		miu[i] += miu[i - 1], phi[i] += phi[i - 1];
}

ll get_phi(int x) {
	if (x <= Maxn) return phi[x];
	if (ans_phi[x]) return ans_phi[x];
	
	ll re = 1ll * (1ll + x) * x / 2;//id 函数的前缀和
	for (ll l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {
		r = x / (x / l);
		re -= 1ll * (r - l + 1) * get_phi(x / l);
	}
	return ans_phi[x] = re;
}

int get_miu(int x) {
	if (x <= Maxn) return miu[x];
	if (ans_miu[x]) return ans_miu[x];
	
	ll re = 1;//ϵ 函数的前缀和
	for (ll l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {
		r = x / (x / l);
		re -= 1ll * (r - l + 1) * get_miu(x / l);
	}
	return ans_miu[x] = re;
}

int main() {
	init();
	
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%d", &x);
		printf("%llu %d\n", get_phi(x), get_miu(x));
	}
	
	return 0;
} 

标签：dfrac,函数,limits,luogu,Sum,杜教,mu,epsilon,sum
来源： https://www.cnblogs.com/Sakura-TJH/p/luogu_P4213.html

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