标签：pmod dfrac ll times 逆元 乘法 equiv
逆元
定义：若 \(ax\equiv 1\pmod b\) 且 \(a\) 与 \(b\) 互质，那么我们就能定义 \(x\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\) ，所以我们也能称 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\pmod b\) 意义下的倒数，此时我们对于 \(\dfrac{a}{b}~\pmod p\)，我们就可以求出 \(b\) 在 \(\pmod p\) 意义下的逆元，来代替 \(\dfrac{1}{b}\)
快速幂
由费马小定理：若 \(p\) 为素数，\(a\) 为正整数，且 \(a\) 、\(p\) 互质。则有 \(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)
所以
\[\dfrac{a}{b}=a\times b^{-1}\equiv a\times b^{p-2} \pmod p \]所以我们用快速幂算出来 \(a\times b^{p-2}\) 就有 \(\dfrac{a}{b}\) 的逆元的值了
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#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int mod;
ll power(ll k,ll p){
ll ans=1;
while(p){
if(p&1) ans=ans*k%mod;
k=k*k%mod;
p>>=1;
}
return ans;
}
ll a,b;
int main(){
scanf("%lld%lld",&a,&mod);//算a的逆元
printf("%lld",a*power(b,mod-2)%mod);
return 0;
}
拓展欧几里得
求解 \(ax\equiv c \pmod b\) 中 \(c=1\) 的情况。我们可以转化为求解 \(ax+by=1\) 的解
所以：
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(!b){
x=1;y=0;
return a;
}
else{
ll tx,ty;
ll d=exgcd(b,a%b,tx,ty);
x=ty;y=tx-(a/b)*ty;
return d;
}
}
int a,p,x,y;
int main(){
scanf("%d%d",&a,&p);
int d=exgcd(a,p,x,y);
x=(x%p+p)%p;
}
线性求逆元
首先，我们设 \(p=kx+r\)
那么我们很容易发现：\(kx+r\equiv 0\pmod p\)
此时，我们左右同时乘上 \(k^{-1}r^{-1}\) 可得
\(kr^{-1}+x^{-1}\equiv 0\pmod p\)
\(\therefore x^{-1}\equiv -kr^{-1}\pmod p\)
把 \(k=\left\lfloor \dfrac{p}{x} \right\rfloor\) \(r=p \bmod x\) 代入，得
\(x^{-1}\equiv -\left\lfloor \dfrac{p}{k} \right\rfloor \times (p \bmod k)^{-1} \pmod p\)
阶乘求逆元
首先，有如下的一个关系：
\(inv_{i+1}=\dfrac{1}{(i+1)!}\)
\(inv_{i+1}*(i+1)=\dfrac{1}{i!}\times \dfrac{1}{n+1}\times (n+1)=\dfrac{1}{i!}\)
所以我们可以先求出 \(n\) 的逆元，然后逆推即可
同时，我们也可以发现 \(\dfrac{1}{i}\) 的逆元就是：\(\dfrac{1}{i!}\times (i-1)!=\dfrac{1}{n}\pmod p\)
标签：pmod,dfrac,ll,times,逆元,乘法,equiv 来源： https://www.cnblogs.com/RevolutionBP/p/15626509.html
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