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  • 【学习笔记】阶与原根2021-12-25 20:02:16

    阶与原根 引入 根据欧拉定理,我们知道:若 \(a \perp m\),则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod m\)。 因此,数列 \(a^1,a^2,a^3,\cdots\) 在模 \(m\) 意义下有一个 \(\varphi(m)\) 的循环节,因为 \(a^{\varphi(m)+1}\equiv a\pmod{m}\)。 然而,我们并不能保证它是最短的循环节。于是我们把

  • [学习笔记]扩展Lucas定理2021-12-24 16:33:16

    我们首先来回顾一下Lucas定理: \(\binom{n}{m} = \binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\binom{n\ mod\ p}{m\ mod\ p}(mod\ p)(p\ is\ prime)\) 其给出了在膜数为质数时,组合数取膜的优秀性质。 其使用的地方为当 \(n,m \geq p\)时。 ll C(ll x,ll y){ i

  • P4454 [CQOI2018]破解D-H协议 题解2021-12-23 20:37:10

    Content 已知有这样的一些数 \(A,B,a,b,g,P\),其中满足 \(A=g^a\mod P,B=g^b\mod p,K=A^b\mod p=B^a\mod p\)。现给定 \(P,g\),再给定 \(n\) 组 \(A,B\),求出每组对应的 \(K\)。 数据范围:\(2\leqslant A,B<P<2^{31},2\leqslant g<20,1\leqslant n\leqslant20\)。 Solution 这道题目乍

  • 快速幂求逆元2021-12-20 20:33:53

    求逆元: \[{解 b x \equiv 1\pmod{p}} \]当b和p不互质时,bx一定是p的倍数,模p一定为0(不为1),此方程无解; 当b和p互质,p是质数时,可以由费马小定理得: \[\begin{gather*} b^{p - 1} \equiv 1\pmod {p} \\ 即b \cdot b^{p - 2} \equiv 1\pmod p \\ 故x = b^{p - 2} \end{gather*} \]因此

  • 线性求逆元2021-12-19 13:32:18

    小知识来啦。 逆元是费马小定理的一个衍生物(算是吧),主要用于模运算中的除法运算。费马小定理是说假如有\(p\in P,lca(a,p)=1(P为质数集合)\),那么\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。换句话说,\(a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod p\)。于是我们就会发现\(a^{p-2}\pmod p\)就是逆元。 普通状态

  • 中国剩余定理2021-12-03 20:32:31

    概念 中国剩余定理(\(\texttt{Chinese Remainder Theorem}\), \(\tt CRT\))可以求解关于 \(x\) 的线性同余方程组 \[\begin{cases} x \equiv a_1(\bmod p_1)\\ x \equiv a_2(\bmod p_2)\\ ...\\ x \equiv a_k(\bmod p_k) \end{cases} \]其中 \(p_1, p_2, ..., p_k\) 两两互质。 思

  • 乘法逆元2021-11-30 22:00:24

    逆元 定义:若 \(ax\equiv 1\pmod b\) 且 \(a\) 与 \(b\) 互质,那么我们就能定义 \(x\) 为 \(a\) 的逆元,记为 \(a^{-1}\) ,所以我们也能称 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\pmod b\) 意义下的倒数,此时我们对于 \(\dfrac{a}{b}~\pmod p\),我们就可以求出 \(b\) 在 \(\pmod p\) 意义下的逆元,来代替

  • 【数学】中国剩余定理2021-11-23 19:03:09

    给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\) 和 \(n\) 个非负整数 \(b_i\),求解关于 \(x\) 的线性同余方程组: \[\begin{cases} x\equiv b_1\pmod {a_1}\\ x\equiv b_2\pmod {a_2}\\ \cdots\\ x\equiv b_3\pmod {a_3}\\ \end{cases} \]其中对于 \(\forall i,j\in[1,n],i\ne j\) 满足 \(

  • 中国剩余定理2021-11-21 11:35:03

    求解模线性方程组 问题描述 给定了 \(n\) 组除数 \(m_i\) 和余数 \(r_i\) ,通过这 \(n\) 组 \((m_i,r_i)\) 求解一个 \(x\) ,使得 \(x \bmod m_i = r_i\) 这就是 模线性方程组 。 数学形式表达就是 : \(\begin{cases} x \equiv r_1 \pmod {m_1}\\ x \equiv r_2 \pmod {m_2}\\ \vdots

  • 数学杂记 #112021-11-13 21:01:41

    Miller Rabin 素性测试 这是一种高效的对一个给定数做素性测试的非确定性算法。 但目前素性测试已经有了确定性的多项式算法,详见 AKS 素性测试。 费马测试 假如我们已经得到了一个正整数 \(n\),且 \(n\ge 2\),需要对它进行素性测试。 一种方法是,使用费马测试,即使用费马小定理: 如

  • [噼昂!]探监心得2021-11-08 23:01:14

    Problem A. 货币兑换 / \(\mathcal{Money}\)   最贪心的思路显然是每次取当前花费最小的一边,但是暴力做显然会超时。考虑我们这样选造成的后果 —— 两种数字花费的价格一定是差不多的,于是我们可以二分这个“差不多”的价格 \(mid\),每次尽可能将两种货币能换的都换了,不过需要注

  • 数论四大定理——威尔逊定理2021-11-07 20:31:31

    历史沿革 该定理是以英格兰数学家爱德华·华林的学生约翰·威尔逊命名的,尽管这对师生都未能给出证明。华林于1770年提出该定理,1773年由拉格朗日首次证明。 定理内容 当且仅当p为素数时: \[(p-1)!\equiv -1(mod\ p) \]或者用其它的表述方法: 当p为素数时,\((p-1)!+1\)可以被p整除 逆

  • 一些关于欧拉的东西2021-11-02 07:31:06

    欧拉定理和函数的一些理解 欧拉定理,先放式子: \[a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m} \]前提是 \(\gcd(a,m)=1\)。 证明:设 \(r_1,r_2,...r_{\varphi(m)}\) 为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系,那么 \(ar_1,ar_2,...ar_{\varphi(m)}\) 也为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系。 所以:

  • Miller-Rabin2021-10-28 14:04:10

    介绍 \(Miller-\ Rabin\) 是一种基于随机的算法,其主要根据两个定理构建而成。 1、费马小定理 若 \(p\) 是质数,且 \(\gcd(a,p)=1\),则有 \(a^{p−1}≡1 \pmod p\)。 假设现在要判断 \(x\) 是否为质数,那么就可得出,只需任意找一个数 \(a\),若其不满足 \(a^{x-1} \equiv 1 \pmod x\),这

  • 中国剩余定理2021-10-24 20:02:59

    就写下中国剩余定理好了,其实包括扩展都可以用屠龙勇士那道题的方法写式子推,\(n\log n\) 就出来了,只是中国剩余定理的做法比较巧,所以写一下。 题目: 给出多个类似 \(x\equiv b_i\pmod {a_i}\) 的式子,保证 \(a\) 之间两两互质,求 \(x\) 做法: 设 \(M=\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\cdot

  • 拉格朗日插值2021-10-15 19:33:09

    拉格朗日插值 很久很久以前,有一个人叫拉格朗日,他发现了拉格朗日插值,可以求出给出函数 \(f(x)\) 的 \(n+1\) 个点,求出这个函数 \(f(x)\) 的值。 推论: 根据某些定理可知: \(f(x)\equiv f(a)\bmod(x-a)\) 那么我们就可以把这个 \(n+1\) 个点的式子全部列出来。最终为 \(f(x)\equiv f(x

  • Markdown MathJax 恒不等于输入2021-10-12 11:34:14

    Markdown MathJax 恒不等于输入 关于下面这个符号在很多数学表达式中都要使用,这就是恒不等于。 ≢ \not \equiv ​≡ 这个符号在很多中文MathJax的使用手册中都没有介

  • SDOI2015 乱做2021-10-11 13:35:47

    排序 dfs 题,肝败吓疯 寻宝游戏 一个比较 trivial 的 trick 吧,按照相邻 dfs 序维护就行了 序列游戏 如果是 \(\sum \equiv x\) 的话,就是正常的多项式快速幂 如果是 \(\prod \equiv x\) 的话,就是两边取对数之后快速幂 星际战争 二分时间,网络流,连边单位时间即可,最后判是否满流 约数个

  • 欧拉函数2021-10-05 19:33:20

    欧拉函数: 定义: \(\varphi (n)\) 表示小于等于 \(n\) ,和 \(n\) 互质的数的个数。 当 \(n\) 为质数, \(\varphi(n)=n-1\) 性质: 欧拉函数为积性函数(可以用线性筛计算) 如果 \(gcd(a,b)=1\) , 那么 $\varphi(a \times b)=\varphi(a) \times $ 当 \(n\) 为奇数时 \(\varphi(2n)=\va

  • CINTA拓展作业二2021-10-03 22:32:03

    乘法逆元、消去律 1、给出正整数a和m,gcd(a,m)=1,请问,a模m的乘法逆元(在mod m的意义下)是唯一的吗?为什么?请证明。2、设p是素数,计算(p-1)! mod p,并找出规律(可编写一个程序),写成定理,并给出证明。(!表示阶乘)3、思考另一个版本的消去律。设

  • O(n)递推求乘法逆元2021-09-21 21:33:10

    题目链接 P3811 【模板】乘法逆元 题目描述 给定 \(n,p\), 求 \(1\sim n\) 中所有整数在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。 输入格式 一行两个正整数 \(n,p\)。 输出格式 输出 \(n\) 行,第 \(i\) 行表示 \(i\) 在模 \(p\) 下的乘法逆元。 输入 10 13 输出 1 7 9 10 8 11 2 5 3 4 说明/

  • bsgs学习笔记2021-09-21 14:31:10

    bsgs 问题一: 若 ( a , p ) = 1 ,   

  • 【总结】欧拉定理相关2021-09-16 18:33:42

    欧拉定理: \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m\) 推论 \(1\) :\(a^{\varphi(p-1)}\equiv 1 \pmod p\) ,其中 \(p\) 是质数(费马小定理)。 推论 \(2\) :若 \(a\perp m\) ,那么 \(a^{-1} \equiv a^{\varphi(m)-1} \pmod m\) (求逆元)。 推论 \(3\) (扩展欧拉定理):对于 \(b \ge m\) ,\

  • Codeforces 1188B - Count Pairs(思维题)2021-09-13 08:33:02

    Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 虽说是一个 D1B,但还是想了我足足 20min,所以还是写篇题解罢( 首先注意到这个式子里涉及两个参数,如果我们选择固定一个并动态维护另一个的决策,则相当于我们要求方程 \(ax^3+bx^2+cx+d\equiv k\pmod{p}\) 的根,而这是很难维护的,因此这个思路行

  • 多项式乘法逆2021-09-11 17:33:04

    对于一个多项式 \(F(x)\),满足 \(F(x)*G(x)\equiv 1\;(\bmod\;x^n)\) 的 \(G\) 就叫做 \(F\) 的乘法逆。 如果只有一项,那么 \(G_0\) 就是 \(F_0\) 的逆元。 若有多项,考虑倍增。 假设已知 \(H(x)\) 使得 \(F(x)*H(x) \equiv 1\;(\bmod\;x^{\left \lceil \frac{n}{2} \right \rceil})

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