简介 中国剩余定理 (Chinese Remainder Theorem, CRT) 可求解如下形式的一元线性同余方程组（其中\(m_1,m_2,...,m_k\) 互质） \[\left\{\begin{array}{ccc} {x} & {\equiv} & {a_{1}\left(\bmod \ m_{1}\right)} \\ {x} & {\equiv} & {a_{2}\left(\bmod \ m_{2}\right)}
给出 \(n,p\)，求解方程 \[x^2\equiv n~(\operatorname{mod}~p) \]其中保证 \(p\) 是奇素数。 二次剩余数量 我们假设 \(n\) 在模意义下有多个不同的根，其中两个是 \(x_1,x_2\)，那么 \(x_1^2\equiv x_2^2\)。 移项加拆括号得：\((x_1-x_2)(x_1+x_2)=0\)。因为 \(x_1\neq x_2\)，所以 \(x_
引入 BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法，常用于求解离散对数问题。该算法可以在 \(O(\sqrt p)\) 的时间复杂度内求解 \[a^x \equiv b \pmod p \]第一部分：\(a \perp p\) 我们将求解的答案 \(x\) 设为 \(km-c \ (c < m)\) 的形式，即 \[a^{km-c} \equiv b \pmod p \]在 \(a \perp
新坑。 arc136 e \(1\) 到 \(n\) 的数，如果两个数不互质则从小到大连有向边，点带权，求一个权最大点集使没有互相可达的点。 sol 首先把 $1$ 选掉，考虑两个数 $x,y$ 互相可达的条件： \(x\equiv 0,y\equiv 0\) 一定可达。 \(x\equiv 1,y\equiv 0\) 则 \(x+minprime_x \leq y\)。 \(x\eq
定义 如果一个线性同余方程 \(ax\equiv 1\pmod b\) ，则称 \(x\) 为 \(a\bmod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\) 它等价于 \(ax+by=1\) ，根据线性同余方程有解的条件可得 \(\gcd(a,b)\mid 1\) ，所以当且仅当 \(\gcd(a,b)=1\) 时 \(a\) 在模 \(b\) 意义下存在逆元 计算 快速幂 当 \(b\) 为素
定义： 若\((a-b)\ mod\ p=0\)，则\(a\)与\(b\)在模\(p\)的意义下同余，记作\(a\equiv b(mod\ p)\)。(\(a,c\in Z\)(整数)，\(m\in N^*\)(正整数)) 性质： 1.\(a\equiv a(mod\ p)\) 2.若\(a\equiv b(mod\ p)\)，则\(b\equiv a(mod\ p)\) 3.若\(a\equiv b(mod\ p)\)，且\(b
题目 \(T(T\leq 100)\) 组询问在模 \(P\) 意义下给 \(B\) 开 \(A\) 次方根， 求出 \([0,P)\) 的所有解，\(P\) 是一个质数。 分析 求出 \(P\) 的原根 \(G\)，若 \(G^x\equiv B\pmod{P}\)，这个 \(x\) 可以通过 BSGS 求出来。 那么 \(X^A\equiv B\pmod{P}\) 就可以转换成 \(G^{kA}\equiv G
逆元 准确地说，这里讲的是模意义下的乘法逆元。 定义：如果有同余方程 \(ax\equiv 1\pmod p\)，则 \(x\) 称为 \(a\bmod p\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。 作用是抵消乘法，即 \(x\cdot a\cdot a^{-1}\equiv x\pmod p\) 进一步可以得到 \(\frac xa\equiv x\times a^{-1}\pmod p\)，这也是分数取
欧拉定理与扩展欧拉定理证明 之前一直想填这个坑来着。。 欧拉定理证明 欧拉定理：若 \((a, m) = 1\)，\(a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\). 证明 引理：设 \(r_1,\dots,r_{\phi(m)}\) 为模 \(m\) 的缩系，那么 \(ar_1,\dots,a_{\phi(m)}\) 也是模 \(m\) 的缩系。 证明： 首先，\(\f
【数论】——欧拉定理与快速幂 文章目录 【数论】——欧拉定理与快速幂欧拉定理推论 快速幂乘法逆元 欧拉定理 若正整数 a，b 互质，则有：（其中：$ phi(n)$ 为欧拉函数） a
BUU刷题记录 1.20 [De1CTF2019]babyrsa 题目 import binascii from data import e1,e2,p,q1p,q1q,hint,flag n = [2012961535249176549934011294318831718054876159786130084730582714151046561967053684463455824643923037165883692810306343287024570718035590719428486151090
前言 如果你正在看这篇博客，我就默认你会算乘法逆元了，如果你还不会，请看我的早期博客：乘法逆元 定义 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？——《孙子算经》 即求满足以下条件的整数：除以3余2，除以5余3，除以7余2。 宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、
概念不说了。 同余方程 同余方程基本形式：\(ax\equiv c(\text{mod}\space b)\)。 \(ax\equiv c(\text{mod}\space b)\Longleftrightarrow \exists y\in \mathbb{Z},s.t. ax+by=c\) \(ax+by=c\) 就可以用扩展欧几里得来求。 代码： int exgcd (int a, int b, int& x, int& y) { if (
清北灵堂送走记 \(Day2\) 前言 数论专题，鬼知道我这三天经历了什么 同余 若 \(a,b\) 为两个整数，且他们的差 \(a-b\) 能被某个自然数 \(m\) 所整除，则称 \(a\) 和 \(b\) 关于 \(m\) 同余，记作 \(a \equiv b \pmod m\)。它意味着 \(a-b = m \times k\)。 一些性质： 若 \(a \eq
目录0. 前言原根Number Theoretic TransformsInverse Number Theoretic Transforms 0. 前言 我们在学Fast Fourier Transforms的时候就会发现输出栏有res[i]=(unsigned long)(a[i].real()/limit+.5) 这里需要加上\(0.5\)以保证输出精度 输出精度是怎么产生的呢？ 我们用复数运算，这
概率期望 咕咕咕(?) 基础知识都在课件上不想手打了,好像都挺简单的 再谈生成函数 最近仔细研究了一下/hanx,发现自己以前理解的有些问题 广义二项式定理 \((1+x)^a=\sum_{n\ge 0}(a,n)x^n[a:R]\) 广义二项式系数 \((n,m)=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m!}\) 对于一个数列{\(f_n\)} OGF
引理 A： \[\gcd(a,c)=1\implies \gcd(ab,c)=\gcd(b,c) \]证明略。 引理 B： \[\gcd(q^a,q^b-1)=1 \]证明：若 \(\gcd(q^a,q^b-1)\) 中含素因子 \(p\)，则 \(q\equiv 0\pmod{p},q^b-1\equiv -1\pmod{p}\)，然而 \(q^b-1\equiv 0\pmod{p}\)，矛盾，原命题得证。 所以不妨设 \(a<b\)，则： \
Tonelli-Shanks算法_python 该算法应用于求二次剩余 也就是形如 x 2 ≡ n (
因为目前半家桶里只会俩所以就成四分之一了。 多项式乘法逆 设多项式 \(A(x)\) 为 \(n\) 次多项式，求多项式 \(B\) ，使 \(A(x)*B(x)\equiv 1(\mod x^n)\) 。 设 \(A(x)*C(x)\equiv 1(\mod x^{\left\lceil\frac{n}{2}\right\rceil})\) ，那么 \[A(x)*B(x)\equiv 1(\mod x^n)\to A(x)*B(
题目描述 求 a 的 b 次方对 p 取模的值，其中 0≤a,b≤10^9 0<p≤10^9 输入格式 三个用空格隔开的整数a,b和p。 输出格式 一个整数，表示a^b mod p的值。 输入样例 2 3 9 输出样例 8 此题部分数论知识 a ≡
1.证明命题 11.2。 要证 Q R p QR_pQR p 在乘法上成群，验证 Q R p QR_pQR p 在群公理上是否成立即可。 封闭性： 由命题 11.3 和 Q R p QR_pQR p 的定义我们可以得知 QR*QR = QR (mod p)，那么显然乘法是封闭的。 结合律继承 Z p ∗ Z_p^*Z p ∗ 的
RSA加密算法是一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中被广泛使用。RSA是由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）在1977年一起提出的 [1] RSA 加密算法的可靠性源自于对于极大的整数做因数分解很难在有限的时间内得到有效
算法竞赛进阶指南--打卡--数学知识篇--0x30 ①：可见的点（欧拉函数，暴力） 在一个平面直角坐标系的第一象限内，如果一个点$ (x,y)$ 与原点 \((0,0)\)的连线中没有通过其他任何点，则称该点在原点处是可见的。 例如，点 \((4,2)\) 就是不可见的，因为它与原点的连线会通过点$ (2,1)$。 部分可见
DSA 本文主要叙述在CTF中的DSA，根据我自己的理解重述一遍CTF-wiki对DSA的描述 公私钥的生成 选择一个哈希函数 H ( ) H()
自变量（Independent variable）一词来自数学。也叫实验刺激(inputs)。——qianxin Math-Based Approach on Neural Networks Perceptrons algebraic terms with inputs \(x_1, x_2, ...\), weights \(w_1, w_2, ...\), and bias \(b\) is \[output=\left\{\begin{matrix} 0\ if\ \s
