欧几里得算法 引理 \(1\)：\((a,b) = (a,a-b)\) 令 \((a,b)=d,(a,a-b)=k\)。 \(a \equiv 0 \pmod d, b \equiv 0 \pmod d,a-b \equiv 0 \pmod d\)，所以 \(k \ge d\) \(a \equiv 0 \pmod d, a-b \equiv 0 \pmod d,b=a-(a-b) \equiv 0 \pmod d\)，所以 \(d \ge k\)
题面 You are given a sequence \(A = (A_1, A_2, ..., A_N)\). You may perform the following operation exactly once. Choose an integer \(M\) at least \(2\). Then, for every integer \(i\) (\(1 \leq i \leq N\)), replace \(A_i\) with the remainder w
我也不知道为什么我求原根的板子都没打就来学ntt（ 好吧其实知道原根是啥就行 阶 定义：若 \(\gcd(a,n)=1\) ,则满足 \(a^{x}\equiv 1 \pmod n\) 的最小正整数 \(x\) 称为 \(a\) 模 \(n\) 的阶，记作 \(\text{ord}_n(a)\) 。 性质： \(a,a^2,a^3,\cdots,a^{\text{ord}_n(a)}\) 在模 \(n\)
证明： 设：这个奇数位 \(2n + 1\)。 则需要证明 \(8 \mid (2n + 1) ^ 2 - 1\)。 因为 \((2n + 1) ^ 2 - 1 = 4n(n + 1)\) 又因为 \(2 \mid n(n + 1)\) 所以 \(8 \mid 4n(n + 1)\) 证毕 证明： 当 n 为奇数时： 设：\(2k + 1 = n\) \(3 ^ {2k + 1} + 1 = (3 + 1) \cdot (3 ^ {2k} - 3
因为他我学了龟速乘 Millar-robin 米勒罗宾 这个小东西是用来素数判定的，且听我细细道来。 前置知识 肥妈小定理 又名费马小定理 ： 当一个数 \(x\) 不是一个质数 \(p\) 的倍数时有： \[x^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]证明： 对于一个序列 \[b = \left \{1,2,3....p-1\right \} \]令 \[
首先介绍 “一加一碰手游戏”。 具体规则是这样的： 游戏有两个玩家，每个玩家有两只手。 初始所有手上的数字都为 \(1\)。 两个玩家轮流行动，轮到一个玩家时他可以选择对方任意一只手上的数字，将自己任意一只手上的数字加上这个数后对 \(10\) 取余数。 若有一只手上的数字为 \(
1.CRT 中国剩余定理，用来求解同余方程组 \begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1} \\ x\equiv a_2\pmod {m_2} \\ x\equiv a_3\pmod {m_3} \\ …………\\ x\equiv a_n\pmod {m_n}\\ \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x≡a1(modm1)x≡a2(modm2)x≡a3(modm3
我们现在要求1~n在mod m意义下的逆元(n<m，m为素数)。 对于一个[1,n]中的数i，我们令\(k=\lfloor\frac{m}{i}\rfloor,r=m \ mod \ i\) 然后\(ki+r \equiv 0 (mod \ m)\) 两边同时乘上\(i^{-1}r^{-1}\)，得到\(kr^{-1}+i^{-1} \equiv 0 (mod \ m)\) 因此\(i_{-1} \equiv -kr^{-1}(mod \
求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 \(n_1, n_2, ···, n_k\) 不 两两互质） \[\left\{ \begin{matrix}x & \equiv & a_1 & (mod \ n_1)\\ x & \equiv & a_2 & (mod \ n_2)\\ \vdots\\ x & \equiv & a_k & (mod \ n_k)\end{matrix
一.逆元 如果一个线性同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，则称 \(x\) 为 \(a \bmod b\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)。 使用方法 对于 \(\frac{a}{b} \bmod p\)，求出 \(b \bmod p\) 的逆元，与 \(a\) 相乘并 \(\bmod p\) 得到结果。 优势：避免了分数的精度问题。 求逆元 exgcd 法 求解 \(ax
0. 前置知识 0.1 常用数学标识 若 \(a\) 与 \(b\) 模 \(p\) 同余，则写成 \(a\equiv b\pmod p\)。 完全剩余系：\((a_1,a_2,...,a_{n-1})\) 模 \(n\) 两两不同，则称 \((a_1,a_2,...,a_{n-1}))\) 为模 \(n\) 的 完全剩余系。 0.2 二项式定理 \[(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^
原根 阶：满足 \(a^n\equiv 1(\mod p)\) 的最小的 \(n\)，为 \(a\) 模 \(p\) 的阶 原根：若 \((a,m)=1\) 且 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则 \(a\) 为模 \(m\) 的原根 判定方法： 若对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因子 \(p\)，都有 \(a^{\frac{\varphi(m)}{p}}\ne 1(\mod p)\) 存在定理：需要满
目录原根Some Important Ideas Before THis阶DefinitionProperty 1Property 2Property 3Property 4原根Definition原根判定定理原根个数原根存在定理原根存在定理Lemma to Theorem 1Theorem 1Lemma to Theorem 2Theorem 2Theorem 3Theorem 4 原根 Some Important Ideas Before THi
题目链接 讲一个不是官方题解的做法。该做法来自 评论区。 题目要求构造 \(a+id\) 为 \(F_{b+ie} \bmod 10^{18}\) 的一个子串。自然考虑把这个子串在一个固定的位置构造。但是打个小一点的表容易发现最后几位是无法构造出所有数字的。 发现 \(a+id\le10^6\)，也就是说 \(a+id\) 最
原根存在性定理的证明 定义模\(m\)意义下满足阶为\(\varphi(m)\)的元素为\(m\)的原根，求证\(m\in\N^+\)的原根存在，当且仅当\(m\in\{2,4,p^a,2p^a|p\in \complement_P\{2\},a\in\Z^+\}\)，其中\(P\)为素数集。显然，如果\(m\)的原根存在，那么\(m\)的既约剩余系就是以原根为生成元的\(\va
乘法逆元 对于正整数 \(a\) ，若存在 \(s\) 使 \(as\equiv1 \pmod{m}\) 则记 \(s\) 是 \(a\) 在模 \(m\) 下的逆元，即 \(s\equiv a^{-1} \pmod{m}\) \(a\) 存在逆元的充要条件为 \(\gcd(a,m)=1\) 费马小定理：若 \(p\) 为质数，则对于任意整数 \(a\) 有 \(a^p \equiv a \pmod{p}\)
快速幂求逆元 给定 $ n $ 组 $ a_i, p_i $，其中 $ p_i $ 是质数，求 $ a_i $ 模 $ p_i $ 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。 注意：请返回在 $ 0 \sim p-1 $ 之间的逆元。 乘法逆元的定义 若整数 $ b，m $ 互质，并且对于任意的整数 $ a $，如果满足 $ b|a $，则存在一个整数 $ x $，使
\(BSGS\) 算法，又称 “北（\(B\)）上（\(S\)）广（\(G\)）深（\(S\)）” 算法，“拔山盖世”算法，可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的复杂度内求解离散对数问题。 题目描述： 给定质数 \(p\) 和整数 \(a, n\)，求最小的非负整数 \(m\) ，满足 \(a^m \equiv n(mod\ \ p)\) 。 算法分析： 最暴力的算法就是每句每一个 \(
八个月前浅尝辄止地碰了一下初等数论，写了一大堆零零散散的blog，想了想最好还是把它们整理一下，顺便补充一点当时没学到/没写到的内容。 以下讨论对象均为整数。 exgcd 21.11.02 即扩展欧几里得，可以以普通欧几里得的复杂度求出关于 \(x,y\) 的不定方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特
2022.7.19 模拟赛 A 略 B 由于 \(2333333333333333=311\times749803\times1006201\) 我们考虑设这三个数分别为 \(p_1,p_2,p_3\) 然后我们暴力找出 \(x_{1\sim 3}\) 使得 \(x_i^2\equiv a\pmod {p_i}\) 上述的 \(x_i\) 只可能为 \(0\) 个或 \(1\) 个或 \(2\) 个 然后考虑对于所有
http-equiv顾名思义，相当于http的文件头作用，它可以向浏览器传回一些有用的信息，以帮助正确和精确地显示网页内容，与之对应的属性值为content，content中的内容其实就是各个参数的变量值。 meat标签的http-equiv属性语法格式是：＜meta http-equiv=”参数” content=”参数变量值”＞ ；其中http
P1397 [NOI2013] 矩阵游戏 题解 首先考虑 \(F_{n,m}\) 是怎么由 \(F_{1,1}\) 递推到的 考虑用矩阵优化两个递推式子，那么 \[\begin{bmatrix} F_{i,j-1}&1 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix}a & 0 \\ b & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} F_{i,j}&1 \end{bmatrix} \]\[\begi
\(\text{Summary}\) 实际上是做法的归纳 一切皆是结论性的，没有证明！ 模 \(p\) 意义下的二次剩余有 \(\frac{p-1}2\) 个，二次非剩余也恰有那么多 考虑解关于 \(x\) 的同余方程 \[x^2 \equiv n \pmod p \]当 \(n=0\) 时，\(x=0\) 是唯一解 当 \(n \not= 0\) 时，若方程有解，则只有两个互为
模数为奇素数的二次同余方程 求解二次同余方程\(x^2 \equiv n \pmod p\)(\(p\)为奇素数) 要求二次同余方程组，就必须先判断方程是否有解，这一部分我懒得写，在此略去。而当\(n=0\)显然只有\(x \equiv 0\)一个解。下面讨论\(n \not \equiv 0\) 的情况。 此时这个方程有且仅有两个解。证
\(\large\text{Date: 7.5}\) \(\text{OI Maths}\) \(\text{I - CRT}\) 一句话： \(\large Ans=\sum\limits_{i=1}^nr_iM_i\operatorname{inv}(M_i, m_i) (\mod M)\) （\(\large M_i=\dfrac{M}{m_i},M=\prod m_i\)） \(\rm exgcd\) 求 逆元： LL exgcd(LL a, LL
