欧拉定理 前置芝士 欧拉函数\(\varphi(n)\) 表示 \(1\)~\(n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数 数学定义如下 \[\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[gcd(i,n)==1] \]欧拉函数是积性函数，即对于 \(\forall n,p\)，若\(gcd(n,p)=1\)，则有\(\varphi(np)=\varphi(n)*\varphi(p)\)。 显然，对于任意质
今天粉兔同学问了一个问题：如何证明贝尔数的 Touchard’s Congruence 性质： Bn+p≡Bn+1+Bn(modp) B_{n+p} \equiv B_{n+1} + B_n \pmod p Bn+p≡Bn+1+Bn(modp) 其中 ppp 是质数，BnB_nBn 是贝尔数。 为了证明这个问题，我们首先证明一个引理： 引理 1：∑k{pk}xk≡x+xp(modp)
更多代码请移步一些模板。 多项式乘法 FFT/NTT，详见别人的博客。由于有些复杂，作者懒得写了。而且写了也对作者没什么意义。 多项式求逆 对多项式\(f(x)\) 求多项式 \(g(x)\) 使得 \(f(x)\cdot g(x)\equiv 1\pmod {x^n}\) 这里的\(\pmod {x^n}\) 的意义其实就是“\(x\) 的次数最低的
暴毙现场 衡水老哥们有点强啊。 A. 解码 对于\(x^c\equiv m(mod\ n)\)，这显然是一个经典的\(c\)次剩余问题。显然有\(x\equiv \sqrt[c]{m}(mod\ n)\)，即\(x\equiv m^{\frac{1}{c}}(mod\ n)\)。 根据欧拉定理，如果\(\frac{1}{c}\)在\(mod\ \varphi(n)\)意义下存在，那么\(m^{\frac{1}{c}
注释：本章同余针对222。 题面 题意：见题面。 解决思路：考虑前四个向量(a,b),(a,−b),(−a,b),(−a,−b)\small (a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b)(a,b),(a,−b),(−a,b),(−a,−b)，设共取出n\small nn个向量，a,−a,b,−b\small a,-a,b,-ba,−a,b,−b的个数分别为xa1,xa2,yb1,yb2x
题意 洛谷 做法 令\(f(a)\)为输出\(sqrt~a\)得到的结果，也就是\(f(a)=x,.s.t~x^2\equiv a(mod~n)\) 随机选择\(x\in[1,n)\)，得到\(f(x^2)\)，令\(y=f(x^2)\) 令\(n=p_1p_2...p_k\)，则\(y^2\equiv x^2(mod~p_1),y^2\equiv x^2(mod~p_2)...y^2\equiv x^2(mod~p_k)\) 对于\(y^2\equiv x^
问题：给定正整数\(m_1, m_2, ... , m_n\) 和 \(a_1, a_2, ... , a_n\) 求关于 x 的同余方程组的一个解： \[\left\{ \begin{aligned} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2}\\ \vdots \qquad \qquad \quad \quad \\ x \equiv a_n \pmod {m_n} \end{a
BSGS \(\text{BSGS}\)（\(\text{Baby Step Giant Step}\)）是用来解决\(a^x \equiv b \pmod p\)的问题。 (a,p)=1 令\(m=\lceil \sqrt{p} \rceil\)，则\(x\)可以表示成\(mq+r\)，其中\(0 \leq q \leq m\)，\(0 \leq r < m\)。 那么\(a^x\equiv b \pmod p\)可以写成\
首先观察式子\(\forall i \in [1,k]\)有\(b_i|(n-a_i)\) 可以得出\(n-a_i=kb_i\) \(n-a_i\equiv0(mod \ b_i)\) \(n \equiv a_i (mob\ b_i)\) 这个式子是不是很眼熟？？ 没错就是中国剩余定理 \(\begin{cases}n \equiv a_1 (mob\ b_1)\\n \equiv a_2 (mob\ b_2)\\n \equiv a_3 (m
引入问题 : 给定一个奇素数 \(p\)，求 \(p\) 最小的原根 \(g\)。 对于一个质数，它的原根 \(g\) 需要满足什么条件？ 对于 \(k \in [1, p - 1]\)，\(g^k\) 完美遍历了 \([1, p - 1]\) 的所有数。（\(g_k\) 两两不相等） 如何快速判断一个数 \(x\) 是否是原根呢？ 根据费马小定理可得 \(x^{p - 1}
题目链接：P4884 多少个1？ 如此\(zz\)的紫题实属少见，难度在于\(BSGS\)板子吧。 啊？如此强的您不会\(BSGS\)，那一定在fake,没事，全套准备好了：\(Link\) 对于这道题，考虑推式子： 显然题目让我们求的是满足： \[\sum\limits_{i=0}^{n-1}10^i\equiv k\pmod{m} \]的\(n\)的最小值。 发现有等比数列
BSGS算法 前言 \(BabyStepGiantStep\)算法 北上广深算法，orz 算法用于解决高次同余问题，\(a^x\equiv b(mod\ c)\) 满足 \(gcd(a,c) = 1\) 推理过程 根据费马小定理可知 如果 \(a\) 和 \(c\) 互质，满足 \(a^{c-1}\equiv 1(mod\ c)\), 自此之后 \(a^{c}\equiv a(mod\ c)\) 这是一个循环
http-equiv顾名思义，相当于http的文件头作用，它可以向浏览器传回一些有用的信息，以帮助正确和精确地显示网页内容，与之对应的属性值为content，content中的内容其实就是各个参数的变量值。 引用 meat标签的http-equiv属性语法格式是：＜meta http-equiv=“参数” content="参数变量值"
费马小定理是数论中的一个定理：假如a是一个整数，p是一个质数，那么$a^p\equiv a(mod\ p)$。如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成$a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)$。 应用1：除法取模 $(a/b)\%p=(a*b^{p-2})\%p$ 证明：$(a*b^{p-2})\%p=(a/b*b^{p-1})\%p=(a/b)\%p$
Link 首先我们应该确定的一件事是不需要MTT，模数很小所以精度问题并不大。 因为模数很小，而且根据Euler定理\(c^{i^2j^3}\equiv c^{i^2j^3\bmod490018}\pmod{490019}\)，那么我们可以考虑求出： \(s_k=\sum\limits_{i=0}^{n-1}A_i\sum\limits_{j=0}^{m-1}B_i[i^2j^3\equiv k\pmod{4900
2020年01月27日18:36:47 费马小定理 扩展欧几里得算法 欧拉函数 扩展\(\textrm {CRT}\) \(\textrm{Lucas}\)定理 扩展\(\textrm{Lucas}\) \(\textrm{BSGS}\) \(\textrm{EX-BSGS}\) \(\textrm{Miller-Rabin\&Pollard-Rho}\) 拉格朗日插值 高斯消元 欧拉定理 欧几里得算法 费马小
又是一个多项式板子，又疯一个...... 还是看板子：【模板】多项式乘法逆 给一个\(n-1\)次\(n\)项柿\(F(x)\)，要你求一个\(n-1\)次多项式\(G(x)\)，满足\(F(x)G(x)\equiv 1 \ (mod \ x^n)\)。 就是把\(F(x)G(x)\)卷积起来忽略掉次数\(\ge n\)的项后它\(\equiv 1\)。 一个比较难的情况:\(n
1.禁止缩放 < meta content=“width=device-width,initial-scale=1.0,maximum-scale=1.0,user-scalable=0” name=“viewport” /> 2.控制状态栏显示样式 < meta name=“apple-mobile-web-app-status-bar-style” content=“black” /> //content：default/black/black-tr
2020年01月27日18:36:47 欧几里得算法 费马小定理 扩展欧几里得算法 欧拉函数 扩展\(\textrm {CRT}\) \(\textrm{Lucas}\)定理 扩展\(\textrm{Lucas}\) \(\textrm{BSGS}\) \(\textrm{EX-BSGS}\) \(\textrm{Miller-Rabin\&Pollard-Rho}\) 拉格朗日插值 高斯消元 欧拉定理 费马小
整除、同余的概念及快速幂 整除、余数都是小学概念，但还是得学习一些细节。 整除 1、 a∣ba|ba∣b 代表b可以被a整除，b是a的倍数，a是b的约数。 2、约定0可以被任何数整除。 3、若存在整数 xxx ,yyy 使得a∗x+b∗y=1a*x+b*y = 1a∗x+b∗y=1，且a∣na|na∣n、b∣nb|nb∣n，那么(a∗b)
问题 洛谷 题目地址 给你正整数 \(n,m,p\)，其中 \(p\) 是质数。求 \(\dbinom{n}{m} \% p\)（\(\dbinom{n}{m}\) 是组合数，表示 \(n\) 选出 \(m\)）。 Lucas定理结论 若 \(p\) 是质数，则对于任意整数 \(1 \le m \le n\)，有： \[\dbinom{n}{m} \equiv \dbinom{n\%p}{m\%p} * \dbinom{n/p}{m/p
数学太恶心了 心态爆炸 第一部分 质数和约数 一些常识 素数无限 $\sum_{1}^{n}\frac{1}{i} = O(logn) $ 欧拉筛，欧拉函数，欧拉定理 这个东西还是有很多骚操作的。 欧拉筛 void LE(int n) { memset(flag,1,sizeof flag); flag[1] = 0; for(int i = 2 ;i <= n; i++) {
考虑一个同余方程组 \[ \begin{cases}x \equiv a_1 \ (mod \ b_1) \\x \equiv a_2 \ (mod \ b_2) \\\quad \quad \quad \vdots \\x \equiv a_n \ (mod \ b_n) \end{cases} \] 其中\(b_1,b_2,\dots,b_n\)两两互质。 令\(m = \prod\limits_{i = 1}^n b_i\)，\(M_i
我 tm……CRT 没看懂 exCRT 却看懂了……emmmm…… 而且这名字完全就是国内的 OI 带师胡起的吧…… 考虑一次同余方程组 \[\begin{cases} x \equiv a_1\ ({\rm mod}\ m_1) \\ x\equiv a_2\ ({\rm mod}\ m_2) \\ ... \\ x \equiv a_n\ ({\rm mod}\ m_n)\end{cases}\] 的解的问题。
中国剩余定理-CRT 一.什么是CRT？ CRT是用来解决线性同余方程组的求解的算法。它的前提是所有的模数互质就好。同时也是唯一一个以中国开头的算法（作为中国人要好好学呀）。 二.算法流程 首先从老祖宗的角度出发，他们当时解决的是这样一个问题。（为什么老祖宗这么强Orz) 三人同行
