标签：原根 varphi delta equiv operatorname mod
目录原根
Some Important Ideas Before THis
- $x\equiv 1(\operatorname{mod},m) \iff x^w\equiv 1(\operatorname{mod},m) $。
- \(a\equiv 1(\operatorname{mod}\,m),b\equiv 1(\operatorname{mod}\,m) \iff ab\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)。
- 反证法。
- 夹逼法。
- 均为模意义下的讨论。
阶
Definition
当 \(a \bot m\) 时，满足同余式 \(a^n \equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\) 的最小正整数 \(n\) 存在，这个 \(n\) 叫做 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)。
由欧拉定理可知。
则不难发现 \(a\) 模 \(m\) 的阶一定不大于 \(\varphi(m)\)，因为 \(\varphi(m)\) 代进去一定成立。
Property 1
\(a,a^2,...,a^{\delta_m(a)}\) 模 \(m\) 两两不同余。
若存在两个数 \(i,j\) 满足 \(a^i \equiv a^j(\operatorname{mod}\,m)\)，则 \(a^{|i-j|}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)，而 \(1\le|i-j| <\delta_m(a)\)，与阶的最小性相违背，因此不存在这样的 \(i,j\)。
Property 2
若 \(a^n\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)，则 \(\delta_m(a)|n\)。
设 \(n=\delta_m(a)q+r,0\le r<\delta_m(a)\)。则
\(a^{\delta_m(a)q+r}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m) \iff a^{r}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)，又由 \(\delta_m(a)\) 的最小性，\(r=0\)。
推论：若 \(a^p \equiv a^q(\operatorname{mod}\,m)\)，则 \(p \equiv q(\operatorname{mod}\,\delta_m(a))\)。
由性质 1 的推导方法，可知 \(a^{|p-q|}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)，\(|p-q|\ge \delta_m(a)\)，由性质 2，\(|p-q||\delta_m(a)\)，
也即 \(p \equiv q(\operatorname{mod}\,\delta_m(a))\)。
Property 3
设 \(m\in \text{N}_{+}\)，\(a,b\in \text{Z}\)，\(\gcd(a,m)=\gcd(b,m)=1\)，则：
\(\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)\) 与 \(\gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))=1\) 互为充要条件。
-
\(p\to q\)：
由 \(a^{\delta_m(a)}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m),b^{\delta_m(b)}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)，得 \((ab)^{\operatorname{lcm}(\delta_m(a),\delta_m(b))}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)。
则 \(\delta_m(ab)|\operatorname{lcm}(\delta_m(a),\delta_m(b))\)。
由条件，\(\delta_m(a)\delta_m(b)|\operatorname{lcm}(\delta_m(a),\delta_m(b))\)。
只能有 \(\gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))=1\)。
-
\(q\to p\)：
-
由 \((ab)^{\delta_m(ab)}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)，有 \(a^{\delta_m(ab)\delta_m(b)}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)，
由性质 2，有 \(\delta_m(a)|\delta_m(ab)\delta_m(b)\)，又由条件 \(\gcd(\delta_m(a),\delta_m(b))\)，得 \(\delta_m(a)|\delta_m(ab)\)。
同理可得 \(\delta_m(b)|\delta_m(ab)\)，则 \(\delta_m(a)\delta_m(b)|\delta_m(ab)\)。
另一方面，\((ab)^{\delta_m(a)\delta_m(b)}\equiv (a^{\delta_m(a)})^{\delta_m(b)}\times(b^{\delta_m(b)})^{\delta_m(a)} \equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)。
又由性质 2，有 \(\delta_m(ab)|\delta_m(a)\delta_m(b)\)。
所以 \(\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b)\)。
Property 4
设 \(k\in \text{N},m\in \text{N}_{+},a\in \text{Z}\)，且 \(a \bot m\)，则：
\(\delta_m(a^k)=\frac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}\)。
由 \(a^{k\delta_m(a^k)}\equiv (a^k)^{\delta_m(a^k)}\equiv 1\)，由性质 2，得 \(\delta_m(a)|k\delta_m(a^k)\)，把 \(k\) 的质因子搞掉，剩下 \(\frac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}|\delta_m(a^k)\)。
由 \((a^k)^{\frac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}}\equiv (a^{\delta_m(a)})^{\frac{k}{\gcd(\delta_m(a),k)}} \equiv 1\)，得 \(\delta_m(a^k)|\frac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}\)。
综上，只能让 \(\delta_m(a^k)=\frac{\delta_m(a)}{\gcd(\delta_m(a),k)}\)。
原根
Definition
设 \(m\in \text{N}_{+},a\in \text{Z}\)。若 \(a\bot m\)，且 \(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则称 \(a\) 为模 \(m\) 的原根。
原根判定定理
设 \(m\ge3\)，\(a\bot m\)，则 \(a\) 是模 \(m\) 的原根的充要条件是，对于 \(\varphi(m)\) 的每个质因数 \(p\)，都有：
\(a^{\frac{\varphi(m)}{p}} \not\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)。
-
必要性：由原根的定义，\(a\) 是模 \(m\) 的原根表示 \(\delta_m(a)=\phi(m)\)，
又由阶的定义，\(\delta_m(a)\) 是满足对应同余式的最小正整数，而 \(\frac{\varphi(m)}{p}<\delta_m(a)\)，必要性显然成立。
-
充分性：当对于 \(\varphi(m)\) 的每个质因数 \(p\)，都有 \(a^{\frac{\varphi(m)}{p}} \not\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\) 时，设有一个整数 \(a\) 不是模 \(m\) 的原根。
那么 \(\delta_m(a)\ne \varphi(m)\)，则必然有 \(t<\varphi(m)\) 满足 \(a^t\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)。
由裴蜀定理，一定存在整数 \(x,y\) 使得 \(xt=y\varphi(m)+\gcd(t,\varphi(m))\)。
故转化原同余式：\(1 \equiv a^{xt} \equiv a^{y\varphi(m)+\gcd(t,\varphi(m))} \equiv a^{\gcd(t,\varphi(m))} (\operatorname{mod}\,m)\)。
由 \(\gcd(t,\varphi(m))|\varphi(m)\) 且 \(\gcd(t,\varphi(m))\le t <\varphi(m)\)，
存在 \(\varphi(m)\) 的质因数 \(p\) 使得 \(\gcd(t,\varphi(m))|\frac{\varphi(m)}{p}\)，进而有 \(a^{\gcd(t,\varphi(m))}\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)。
假设与条件矛盾，因此原命题成立。
原根个数
若一个数 \(m\) 有原根，则 \(m\) 的原根个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)。
设 \(m\) 有一个原根 \(g\)，由阶的性质 4，有 \(\delta_m(g^k)=\frac{\delta_m(g)}{\gcd(\delta_m(g),k)}\)。
又因为 \(\delta_m(g)=\varphi(m)\)，有 \(\delta_m(g^k)=\frac{\varphi(m)}{\gcd(\varphi(m),k)}\)。
当 \(\gcd(\varphi(m),k)=1\) 时，\(\delta_m(g^k)=\varphi(m)\)，此时 \(g^k\) 也为 \(m\) 的原根。
而满足条件的 \(k\le \varphi(m)\) 的取值有 \(\varphi(\varphi(m))\) 个，所以 \(m\) 的原根个数为 \(\varphi(\varphi(m))\) 个。
原根存在定理
原根存在定理
一个数存在原根当且仅当 \(m=2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}\)，其中 \(p\) 为奇质数，\(\alpha\in \text{N}_{+}\)。
接下来分几个部分，提出定理进行证明。
除开 \(2\) 之外，\(2^{\alpha}\) 没有原根。
Lemma to Theorem 1
设 \(a,b\) 是与 \(p\) 互质的两个整数，则存在 \(c\in \text{Z}\) 使得 \(\delta_p(c)=\operatorname{lcm}(\delta_p{(a)},\delta_p{(b)})\)。
搁了。
Theorem 1
对于奇素数 \(p\)，\(p\) 有原根。
对 \(1\sim(p-1)\) 两两使用引理，可知存在 \(g\in \text{Z}\) 使得 \(\delta_p(g)=\operatorname{lcm}(\delta_p{(1)},\delta_p{(2)},\cdots,\delta_p{(p-1)})\)。
即 \(\delta_p(i)(i=1,2,\cdots,p-1)|\delta_p(g)\)，所以 \(i^{\delta_p(i)}\equiv i^{\delta_p(g)}\equiv 1(\operatorname{mod}\,p)\)。
换句话说，\(x^{\delta_p(g)}\equiv 1(\operatorname{mod}\,p)\) 有 \(p-1\) 个不同的根。
由拉格朗日定理，\(x^n\equiv 1(\operatorname{mod}\,p)\) 至多有 \(n\) 个不同的根，所以此处至少有 \(\delta_p(g)\ge p-1\)。
又 \(\varphi(p)=p-1\)，所以 \(\delta_p(g)\le p-1\)，夹逼得 \(\delta_p(g)=p-1=\varphi(p)\)。
即存在这样的 \(g\) 是 \(p\) 的原根。
Lemma to Theorem 2
存在模 \(p\) 的原根 \(g\)，使得 \(g^{p-1}\not\equiv 1(\operatorname{mod}\,m)\)。
Theorem 2
对于奇素数 \(p\)，\(\alpha\in \text{N}_{+}\)，\(p^{\alpha}\) 有原根。
Theorem 3
对于奇素数 \(p\)，\(\alpha\in \text{N}_{+}\)，\(2p^{\alpha}\) 有原根。
Theorem 4
对于 \(m\ne 2,4\)，且不存在 \(p\) 为奇素数，\(\alpha\in \text{N}_{+}\) 使得 \(m\) 为 \(p^{\alpha}\) 或 \(2p^{\alpha}\)，\(m\) 没有原根。
标签：原根,varphi,delta,equiv,operatorname,mod 来源： https://www.cnblogs.com/Schucking-Sattin/p/16548698.html
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