虽然挺简单的，但用的不多的话，挺容易忘。 问题模型： 给定一个数论函数\(f\)，定义\(S_f(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\) 要求在低于线性的时间复杂度求出\(S_f(n)\) 基本原理： 构造一个数论函数\(g\)，令\(h=f*g\) 可以得到 \(S_f(n)=\frac{1}{g(1)}(S_h(n)-\sum_{i=2}^ng(i)S_f(\lfloor \frac{n}{
1.杜教筛 杜教筛是用来在低于线性的时间复杂度\((O(n^\frac{2}{3} )?)\)内求出积性函数的前缀和的算法 根据杜教筛的定义，我们设 \[S(n)=\sum_{i=1}^nf(i) \]\[g是一个积性函数 \]\[h(n)=f \times g \]\[H(n)=\sum_{i=1}^nh(i) \]那么有 \[\begin{aligned} H(n)&=\sum_{i=1}^nh
杜教筛是用来在非线性时间内求积性函数的前缀和 前置知识 积性函数（莫比乌斯函数，欧拉函数。。。） 狄利克雷卷积 杜教筛 假设当前要求积性函数的 \(\sum_{i=1}^n f_i\) 那么我们找一个合适的另一个积性函数 \(g\) \[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n(f*g)(i)\\ =&\sum_{i
杜教筛 杜教筛用途：在低于线性时间里，高效率求一些积性函数的前缀和 杜教筛算法=整除分块+狄利克雷卷积+线性筛 杜教筛公式： \[\begin{align} &g(1)S(n)=\sum_{i=1}^nh(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor) \end{align} \]1.积性函数 1.1 定义 （1）定义在所有正
1 1.对于L,R； 2 找到最大的R，使得[n/l]=[n/r]; 3 n/r>=[n/r]-->r<=n/[n/r] 4 <<=>> 5 r<=n/[n/l]; 6 7 2. 8 [[n/x]/y]=[n/xy] 9 10 3.杜教筛 11 i >= 1 && i <= n j >= 1 && j <= n 12 求它们的互质对数 13 令f(n)=它们的互质对数； 14
\(\text{Code}\) #include<cstdio> #include<tr1/unordered_map> #define LL long long using namespace std; const int M = 5e6; int vis[M + 5],p[M + 5],tot,T,n; LL phi[M + 1],mu[M + 1]; tr1::unordered_map<int,LL> fm,fp; void init() { mu[1
亚线性筛法 求积性函数 \(f(x)\) 的前 \(n\) 项和, 我们可以通过线性筛解决 \(n\) 数量在 \(10^7\) 级别的情况, 当 \(n\) 更大时, 线性算法就不足以求出答案了. 杜教筛就是一种对于特定积性函数能够在小于线性的复杂度内求出前 \(n\) 项和的方法. 前置知识 线性筛 狄利克雷卷
在 \(O(n^{2/3})\) 内求积性函数 \(f\) 的前缀和 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)\)。 首先找到一个积性函数 \(g\) 使得 \(g\) 和 \(h(=f*g)\) 的前缀和能够快速求出。 \[\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^nh(i)&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{d\ |\ i}f(\frac{i}{d})g(d)
又在抄 oi-wiki... 求 \[\phi(n)=\sum_i^n \varphi(i) \]利用 \(id=\varphi * 1\)： \[\begin{aligned} \frac{1}{2}n(n+1)&=\sum_k^n k \\ &=\sum_k^n\sum_{d|k}\varphi(\frac{k}{d}) \\ &=\sum_d^n\sum_{1\leq k\leq n,d|k}\varphi(\frac{k}
认识一下常用数论函数$:$$\mu$ 无需解释$I =1\ $恒等函数(恒等于$1$)$e= \ [n=1]$原函数然后考虑莫比乌斯反演性质式$:$$\sum_{i|n}\mu(i)=[n=1]$等价于$\mu*I=e$$F=\sum_{i|n}f[i]$$F=(f*I)$$F*\mu=(f*I)*\mu$$F*\mu=f*(I*\mu)$$F*\mu=f*e$$F*\mu=f$$f=F*\mu$证毕$n=\sum_{i|n}\p
一道更比一道毒瘤 [51 nod 1227] 平均最小公倍数 其实就是求 \[ans=Ans(b)-Ans(a-1) \]因此我们只需要求出函数\(Ans(n)\)就行了 \[Ans(n)=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\sum_{j=1}^ilcm(j,i) \]\[=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\sum_{j=1}^i\frac{ji}{gcd(j,i)} \]\[=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1
前置知识：莫比乌斯反演专题(基础篇) 杜教筛 设\(f(n)\)为一积性函数 求\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)，\(n\leq 10^{10}\) 我们考虑给\(f(n)\)卷上另一个积性函数\(f(n)\)再做前缀和 \[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \]\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}f(\frac{i}{d}) \]\[\sum
Description 给定整数 \(n, m\)，求 \[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2 \gcd(i, j) - 1 \] 对于 \(100\%\) 的数据：\(1 \le n, m \le 10^5\)。 Solution 不妨设 \(n\le m\)。 \[\begin{aligned} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2 \gcd(i, j) - 1 & = - nm + 2
题目大意： 求 \[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits^i_{j=1}\frac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)} \]\(1\le n\le 10^9\)。 题解： 为了方便，考虑求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits^n_{j=1}\frac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}\) \[\sum\limits_{i=1}^n
浅淡杜教筛 狄利克雷卷积 本文的 * 均表示狄利克雷卷积 定义函数 \(f\) 与 \(g\) 狄利克雷卷积后函数的第 \(n\) 项为 \((f*g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac nd)\) 积性函数 如果对于互质的两数 \(p, q\) 有：\(f(p)f(q) = f(pq)\) ，则认为函数 \(f\) 为积性函数 特别地，如果对于任意两
正题 P3172 题目大意 在 [L,R] 选n个数，问gcd=k的方案数 解题思路 因为gcd=k，那么所选的数都是k的倍数，那么可以让L,R整除k，那么有 ∑ a
【模板】杜教筛（Sum） 题目链接：luogu P4213 题目大意 要你求 φ 函数的前缀和和 μ 函数的前缀和。 （分别是欧拉函数和莫比乌斯函数） 思路 前置知识（们） 积性函数：对于两个互质的数 \(x,y\)，\(f(xy)=f(x)f(y)\)，那 \(f\) 就是积性函数。 完全积性函数：对于任意两个整数 \(x,y\)，\(f(xy)=f(x)f(
今天本身是要学习莫比乌斯反演的，然后题单里面出现了一道需要用杜教筛的题，我还推到了只剩杜教筛的地方 于是迫不得已学习了这种神仙算法，真是迫不得已啊。。。。 杜教筛是一种在线性复杂度以下的求积性函数前缀和的高级算法，大概在\(O(n^{\frac{2}{3}})\)左右 前置知识 积性函数 积性
杜教筛 作用：用来求积性函数前缀和，时间复杂度为\(O(n^\frac{2}{3})\) 积性函数 若对于函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x)=f(a)*f(b)\) ，其中 \(x=a*b\) 且 \(gcd(a,b)=1\)，那么 \(f(x)\) 为积性函数。 常见积性函数： \(\mu()\) ——莫比乌斯函数。 \(\phi()\) ——欧拉函数。\(\phi(n)=\su
题意 每次从 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 中选择一个数加到一个序列末尾，当
题意 求 ∑ i = 1 n
杜教筛 对于一个数论函数 \(f\) 我们希望求其前缀和， 这时可以引出另一个数论函数 \(g\) 则我们可以得到： \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\left \lfloor \frac{i}{d} \right \rfloor)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\) 把第一个式子卷一下： \(\su
目录 链接描述分析杜教筛迪立克利卷积 g ∗ f g*f
今天做了几道拉格朗日插值的题，这个知识点虽然很早就知道，但是却很少遇到相关题目，今天记录一下相关套路。首先是无敌的杜教模板： #include <bits/stdc++.h> #define rep(ii,a,b) for(int ii=a;ii<=b;++ii) #define per(ii,a,b) for(int ii=b;ii>=a;--ii) using namespace std; type
#1.0 基础知识 #1.1 积性函数 #1.1.1 定义 设 \(f\) 是数论函数，若对任意互质的正整数 \(a,b\)，都有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 是积性函数。若对任意的正整数 \(a,b\)，都有 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称 \(f\) 是完全积性的。 #1.1.2 性质 若 \(f\) 是积性函数，且 \(n=p_1^{\alpha_1}p
