标签:artalter frac 前缀 sum 杜教 ng aligned 进阶
1.杜教筛
杜教筛是用来在低于线性的时间复杂度\((O(n^\frac{2}{3} )?)\)内求出积性函数的前缀和的算法
根据杜教筛的定义,我们设
\[S(n)=\sum_{i=1}^nf(i) \]\[g是一个积性函数 \]\[h(n)=f \times g \]\[H(n)=\sum_{i=1}^nh(i) \]那么有
\[\begin{aligned} H(n)&=\sum_{i=1}^nh(i)\\ &=\sum_{i=1}^n(f\times g)(i)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}{g(d)f(\frac{i}{d})}\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}{g(d)f(\frac{i}{d})}\\ &=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^nf(\frac{i}{d})[d|i] \\ &=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{i}{d}\rfloor}f(i) \\ &=\sum_{d=1}^ng(d)S(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor)\\ \end{aligned} \]变化一下可得:
\[\begin{aligned} g(1)S(n)&=H(n)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\lfloor\frac{i}{d}\rfloor) \end{aligned} \]这就是杜教筛最根本的式子。
如果我们能找到一个g,使得g的前缀和\(g\times h\)的前缀和都很好求,那我们就能用整数分块快速求出S了
应用
\[\sum_{i=1}^n\mu(i) \]我们知道
\[\mu \times I =\epsilon \]\(\epsilon\)的前缀和永远是1,\(I\)的前缀和就是n
那我们就可以推出\(\mu\)的前缀和式子了
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