标签：lfloor right frac rfloor sum varphi 杜教 学习 笔记

杜教筛

对于一个数论函数 \(f\) 我们希望求其前缀和，
这时可以引出另一个数论函数 \(g\)

则我们可以得到： \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}g(d)f(\left \lfloor \frac{i}{d} \right \rfloor)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\)

把第一个式子卷一下： \(\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\)

那对于 \(S(n)\) 我们显然有 \(g(1)S(n)=\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)\)

则我们可以得到杜教筛的最终式子：

\(S(n)=\frac{\sum_{i=1}^{n}(f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)}{g(1)}\)

莫比乌斯函数前缀和

因为我们有 \(\mu*I=\epsilon\)， 那么令 \(g\) 为 \(I\)，直接套入公式就好了。

欧拉函数前缀和

引入公式： \(\varphi*I=id\)。

这里给出两种证明方式：

1.

令 \(f=\varphi*I=\sum_{d|n}\varphi(d)\)

显然积性函数的积为积性函数，所以 \(f\) 为积性函数。

令 \(n=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{a_{i}}\)

则 \(f(n)=\prod_{i=1}^{k}f(p_{i}^{a_{i}})\)

\(f(p^{k})=\sum_{d|p^{a}}\varphi(d)=\varphi(1)+\sum_{i=1}^{k}\varphi(p^{i})=\varphi(1)+\sum_{i=1}^{k}(p^{i}-p^{i-1})=p^{k}\)

则： \(f(n)=\prod_{i=1}^{k}f(p_{i}^{a_{i}})=\prod_{i=1}^{k}p^{a_{i}}=n=id(n)\)

2.

构造式子： \(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n-1}{n}+\frac{n}{n}\)
对于每个分数，我们把他化简成最简分数形式
则对于每个分母 \(i\) 存在的次数为 \(\varphi(i)\) 次，
首先在这些分数中，分子是一定小于分母的，那如果 \(j\) 可以作为 \(i\) 的分子，那么 \(i\) 一定与 \(j\) 互质

剩下的带入公式就好了

参考文献：
杜教筛-OI Wiki [https://oi-wiki.org/math/number-theory/du/]

标签：lfloor,right,frac,rfloor,sum,varphi,杜教,学习,笔记
来源： https://www.cnblogs.com/zjxlm/p/15230381.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。