To Start 我们做题的时候经常会发现一类题型，它们都包含有一种条件——从 \(n\) 个东西中选择 \(k\) 个，然后乌拉乌拉一大堆让你求最优解。 比如 P4767 [IOI2000]邮局 中： 在分布在一条直线上的 \(n\) 个村庄中选 \(k\) 个建立邮局，求所有村庄到达其最近邮局的最小距离之和。\(n\le 3
一直以为是什么很难的算法。。 wqs 二分解决的就是形如“恰好选 \(k\) 个的最大值” 这样的问题。 具体而言就是恰好 \(k\) 个这个条件很难搞时，对数据做一个偏移量，也就是所有数都去加上 \(x\) ，然后去掉这个条件跑最优解，这样得到的最优解选了几个计算一下，可以发现这个 \(x\) 会对最
有一道简单的题，序列 \(a\) 有 \(n\) 元素，选正好 \(k\) 个元素和的最大值？ 这道题可以用排序，但是这道题可以用来理解「二阶导」恒定的正负性。 用 \(g_k\) 表示选正好 \(k\) 个元素的最佳答案，把 \((k,g_k)\) 形成的点画在坐标系上，就能得到一个「上凸包」。 例如 \(a = [9,8,4,2,-9,-
题目描述 给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。 题目保证有解。 一个最小生成树问题，但是我们要选need条白边，我们用g(i)表示选取i条白边的最优方案（生成树的权值最小），那么可以大致猜出g(i)是关于i的一个下凸函数，可以发现斜
引入：最小度限制生成树 将连接 \(s\) 的边称为 白边。我们人为地控制“最小”生成树的白边数量，那么其权值一定先减小后增大。其中顶点为真正最小生成树的白边数量。 发现其有凹凸性，于是考虑 wqs 二分，具体如何操作不再详细说明，最终复杂度是 \(O(n\log n+n\log W)\)。 除此之外，题目还
前言 WC 将我暴打。 wqs 二分 黑龙江神仙 OIer 王钦石 归纳的一类二分方式，由于是 [IOI2016]ailens 的正解于是在国外被称为 "Alien trick"生动体现了 wqs 二分是多么魔法 考虑对于一类特殊的问题 ：有限制的最优化。 抽象一个模型，\(n\) 个数选出恰好 \(k\) 个，可能还有其他限制，最大化
简述 闲话 wqs 二分最初由王钦石在他的 2012 年国家集训队论文中提出，而从 IOI 2016 的 Aliens 题目开始，这种方法开始逐步在竞赛圈中有了一定的地位。在国内我们一般称为「wqs 二分」，而在国外一般称为「Alien Trick」。 常见适用范围 应用 wqs 二分的一种常见的问题形式为：给定一些
wqs二分时间 给定 个物品，我们需要在其中恰好选择 个，并且需要最大化收益。设对应的收益为 ，那么需要满足在最大化收益的前提下，每多选择一个物品，额外产生的收益是单调递减的，也就是 。同时，如果我们对物品的选择数量没有限制，即 不存在，那么我们应当能够快速地计算出最大的收益，以及
〇、前言 ¶ 天天被打爆......很久之前学过 \(\mathrm{wqs}\) 二分，现在又忘记了......考试凭感觉打......还是总结一篇好了。 壹、知识桥 ¶ 引入：有若干个物品，要求你选出 \(m\) 个，选的时候带有限制，要你求出最优的方案。 一般解决这一类问题，我们十分常用的技巧是 \(\math
重新学了一下这方面的知识。 首先要理解wqs二分为啥只能做凸函数，以及理解二分的本质是在二分斜率。 可以看下面这篇介绍 https://www.luogu.com.cn/blog/daniu/wqs-er-fen 然后再就是wqs二分与闵科夫斯基和的关系。 可以参考这篇文章。 https://www.luogu.com.cn/blog/Flying2018/
正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4383 题目大意 \(n\)个点的一棵树，要求删除\(k\)条边然后接上\(k\)条边权为\(0\)的边后形成的树上选择一对\((p,q)\)从\(p\)走简单路径到\(q\)的权值和最大。 \(n,k\leq 3\times 10^5\) 解题思路 其实可以理解为选恰好\(k+1\)条
P5308 [COCI2019] Quiz 作为 wqs 二分的一道入门题，值得写一篇题解。 解题思路 首先我们考虑 \(O(n^2k)\) 的普通 DP。 我们令 \(f_{i,k}\) 为考虑淘汰 \(i\) 个人，分成 \(k\) 轮淘汰的最大收益。我们可以得到转移方程： \[f_{i,k}=\max\limits_{j=0}^{i-1} f_{j,k-1}+\frac{i-j}{i}
正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4983 题目大意 给出长度为\(n\)的序列\(x\)，记平均数为\(\bar{x}\)，要求将序列分成\(m\)段。 每一段\([l,r]\)的值为 \[\frac{((\sum_{i=l}^rx_i\times \bar x)+\bar x)^2}{\bar x^2} \]求所有段的值和最小 \(1\leq m\leq n\leq 1
LINK 定义 f [ i ] [ j ] [ k
博客仍在施工中 关于 wqs 二分部分可以参考 跳蛙的博客 或者 原论文，基础部分这里略过。 wqs 二分与费用流 事实上要严格证明一个函数是凸的需要不少时间，比如经典的 wqs 二分问题： 给定长度为 \(n\) 序列 \(a_i\)，要求选择恰好 \(k\) 个不相交的非空子区间，使得选中元素的价值和最大。
目录前言讲解应用领域原理练习例1例2代码小结 前言 确实是浅谈。 讲解 应用领域 WQS二分用于解决形似于有限制地恰好选 \(x\) 个物品，使其权值和最大或最小。 而且随着选物品个数的增多，这个权值呈一个凸函数的形式。 原理 考虑一下如果不是必须选 \(x\) 个而是随便选怎么做？ 其实对
Legend 大神犇 YCY 现在有 \(k\) 道神题要刷(假定神题没有区别)，刷一道题要分两个步骤，必须要先想出正解再写出正解。 他一共有 \(n\) 天时间可以刷题，但他每天最多只能想出一道题和写出一道题，可以在同一天想出和写出同一道题。 定义刷一道题的代价为想的代价 \(a_i\) + 写的代价$ b_
点此看题面 给定一个长度为\(n\)的序列\(a\)，要求你把它划分成\(m\)段。 令\(sum_i\)表示第\(i\)段的数之和，求\(\sum_{i=1}^m(sum_i+1)^2\)的最小值。 \(m\le n\le10^5\) \(WQS\)二分 一来这种套路早就见过了，二来事先知道了这题是\(WQS\)二分，于是这题就变得非常水。。。 不过感觉
内容 \(wqs\) 二分又名凸优化、带权二分。 一般用于 \(n\) 个物品强制选 \(k\) 个的情况下的最优化问题。 这样的问题直接 \(dp\) 复杂度一般都比较高，因为要求强制选 \(k\) 个，所以要有一维来记录选了多少物品。 而 \(wqs\) 二分则可以把这种限制去掉。 首先我们二分一个权值 \(C\)
广告 你还在为题目限制太多而放弃吗？ 你还在为dp太慢而焦虑吗？ 你还在为炸空间而烦恼吗？ 来试试凸包斜率优化与 wqs 带权二分吧！ 简介 （上面怎么又有广告） 前置芝士你需要知道的：动态规划在转移时，最终转移而来的状态称为决策点 斜率优化与 wqs 带权二分都是利用凸包与切线的概念优化 dp
WQS二分学习笔记 完全没看懂…… 事情的起因，是一道叫做林克卡特树的题。 题目大意：从一棵树中选出 \(k+1\) 条非相邻链，要求链的权值和尽量大。有负权边。 首先能想到一个简单的DP，\(f[i][j][0/1/2]\)：以\(i\)为根的子树中，选了\(j\)条链，0：\(i\)没选 1：\(i\)在链的端点上 2：\(i\)在一条链
uoguP4383 [八省联考2018]林克卡特树(树上dp，wqs二分) Luogu 题解时间 $ k $ 条边权为 $ 0 $ 的边。 是的，边权为零。 转化成选正好 $ k+1 $ 条链。 $ k \le 100 $ 的部分。 毫无疑问是树上打背包dp。 但具体设计还要注意一下。 一个问题是单点成链，这个要特判。 之后由于选择的都是
「IOI2016」外星人(斜率优化+wqs二分) 分析性质： 每个点x,y可以转化为一段区间,如果出现了\(x'\leq x,y'\leq y\)包含关系，那么可以忽略 所以可以转化为一些不相交的区间进行\(\text{dp}\)，代价为每个区间\((R-L+1)^2\)减去相交部分的平方(处理之后相交部分就只有\(i\)与\(i+1\)相交
https://loj.ac/problem/2478 以上面这题为例，这道题斜率是不递增的，并且都是整数。 实数二分很爽，但是效率不高，对于斜率都是整数的，我们可以采用整数二分，但是需要注意一点细节： wqs二分，是找一个斜率，使得第k个成为最优点。 但是，因为斜率可能出现一段相同的情况，因此可能有一个斜率，使得一
