标签:modp 22 2020.6 ekx sum equiv 同余 Bn mathrm
今天粉兔同学问了一个问题:如何证明贝尔数的 Touchard’s Congruence 性质:
Bn+p≡Bn+1+Bn(modp)
其中 p 是质数,Bn 是贝尔数。
为了证明这个问题,我们首先证明一个引理:
引理 1:∑k{kp}xk≡x+xp(modp)。
证明:我们考虑多项式 xp=∑k{kp}xk,这是由下降幂转化得到的。而 xp≡x(modp),xp≡0(modp),因此我们可以知道对于 ∑k<p{kp}xk≡x(modp),等式两边都是小于 p 次的多项式,必然是对应相等的,而 {pp}=1 显然。故 ∑k{kp}xk≡x+xp(modp) 得证。
接下来考虑这样一件事,记贝尔数的 EGF 是 B(x)=exp(ex−1),那么 B′(x)=B(x)ex,我们考虑对 B(x) 连续求导 n 次,我们知道求导完必然是一个 B(n)(x)=B(x)∑kan,kekx 的形式,归纳则有
B(n+1)(x)B(x)k∑an+1,kekxk∑an+1,kekxan+1,k=(B(n)(x))′=(B(x)k∑an,kekx)′=k∑an,k(B(x)ekx)′=k∑an,k(kB(x)ekx+B(x)e(k+1)x)=k∑an,k(kekx+e(k+1)x)=kan,k+an,k−1
带入初值,我们容易得到
B(n)(x)=B(x)k∑{kn}ekx
令 n=p,有
B(p)(x)Bn+p=B(x)k∑{kp}ekx≡B(x)(ex+epx)≡B(x)(ex+1)≡B′(x)+B(x)≡Bn+1+Bn
故原问题得证。
后面还提到了 Bn+pm≡mBn+1+Bn(modp),这个其实就不是很有新东西了,不过一个很爽的事情是我们可以用 Umbral Calculus 来快速得到:现在挪用上指标,我们有
Bp=1+B
因此 Bpm=(1+B)pm−1=1+Bpm−1=2+Bpm−2=⋯=m+B
得证。
标签:modp,22,2020.6,ekx,sum,equiv,同余,Bn,mathrm
来源: https://blog.csdn.net/EI_Captain/article/details/106909220
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