[HAOI2011]向量（裴蜀定理）

2020-05-21 22:36:46 阅读：320 来源： 互联网

标签：裴蜀 y1 2a 2b small cases equiv 向量 HAOI2011

注释：本章同余针对 $2$ 2。
题面
题意：见题面。
解决思路：考虑前四个向量 $\small (a,b), (a,-b), (-a,b), (-a,-b)$ (a,b),(a,−b),(−a,b),(−a,−b)，设共取出 $\small n$ n个向量， $\small a,-a,b,-b$ a,−a,b,−b的个数分别为 $x_{a1},x_{a2},y_{b1},y_{b2}$ xa1,xa2,yb1,yb2。
$\small \begin{cases} \ x_{a1}+x_{a2}=n\\ \ y_{b1}+y_{b2}=n\\ \end{cases}$ { xa1+xa2=n yb1+yb2=n
$\small n$ n个向量之和为 $\small (ax_{a1}-ax_{a2},by_{b1}-by_{b2})$ (axa1−axa2,byb1−byb2)
设 $\small x_1=x_{a1}-x_{a2}$ x1=xa1−xa2， $\small y_1=y_{b1}-y_{b2}$ y1=yb1−yb2，证明 $\small x_1\equiv y_1$ x1≡y1
$\small n\equiv p$ n≡p， $\small p$ p的取值为 $\small 0$ 0或 $\small 1$ 1
$\small \therefore \begin{cases} \ x_{a1}+x_{a2}\equiv p\\ \ y_{b1}+y_{b2}\equiv p\\ \end{cases}$ ∴{ xa1+xa2≡p yb1+yb2≡p
$\small \therefore \begin{cases} \ x_{a1}+x_{a2}-2x_{a2}\equiv p\\ \ y_{b1}+y_{b2}-2y_{b2}\equiv p\\ \end{cases}$ ∴{ xa1+xa2−2xa2≡p yb1+yb2−2yb2≡p
$\small \therefore \begin{cases} \ x_{a1}-x_{a2}\equiv p\\ \ y_{b1}-y_{b2}\equiv p\\ \end{cases}$ ∴{ xa1−xa2≡p yb1−yb2≡p
$\small \therefore x_1\equiv y_1\equiv p$ ∴x1≡y1≡p
证毕 $\small ！！！$ ！！！
结论： $\small n$ n个向量之和为 $\small (ax_1,by_1)$ (ax1,by1)， $\small x_1\equiv y_1$ x1≡y1
同理考虑后四个向量 $\small (b,a), (b,-a), (-b,a), (-b,-a)$ (b,a),(b,−a),(−b,a),(−b,−a)，设共取出 $\small m$ m个向量，设 $\small m$ m个向量之和为 $\small (by_2,ax_2)$ (by2,ax2)，且 $\small y_2\equiv x_2$ y2≡x2
八个向量之和为 $\small (ax_1+by_2,by_1+ax_2)$ (ax1+by2,by1+ax2)， $\small x_1\equiv y_1$ x1≡y1， $\small y_2\equiv x_2$ y2≡x2
$\small \therefore \begin{cases} \ ax_1+by_2=x~~~~~~\small x_1\equiv y_1\\ \ by_1+ax_2=y~~~~~~\small y_2\equiv x_2\\ \end{cases}$ ∴{ ax1+by2=x x1≡y1 by1+ax2=y y2≡x2
$\small \therefore \begin{cases} \ ax_1+by_2=x~~~~~~\small x_1\equiv y_1\\ \ ax_2+by_1=y~~~~~~\small y_2\equiv x_2\\ \end{cases}$ ∴{ ax1+by2=x x1≡y1 ax2+by1=y y2≡x2
情况一： $\small x_1\equiv y_1\equiv 0$ x1≡y1≡0， $\small y_2\equiv x_2\equiv 0$ y2≡x2≡0
$\small \therefore \begin{cases} \ ax_1+by_2=x\\ \ ax_2+by_1=y\\ \end{cases}$ ∴{ ax1+by2=x ax2+by1=y
将同余 $\small 0$ 0的项提出 $\small 2$ 2
$\small \therefore \begin{cases} \ 2ax_1'+2by_2'=x\\ \ 2ax_2'+2by_1'=y\\ \end{cases}$ ∴{ 2ax1′+2by2′=x 2ax2′+2by1′=y
有解的条件是 $\small (2a,2b)\mid x$ (2a,2b)∣x， $\small (2a,2b)\mid y$ (2a,2b)∣y
情况二： $\small x_1\equiv y_1\equiv 0$ x1≡y1≡0， $\small y_2\equiv x_2\equiv 1$ y2≡x2≡1
$\small \therefore \begin{cases} \ ax_1+by_2=x\\ \ ax_2+by_1=y\\ \end{cases}$ ∴{ ax1+by2=x ax2+by1=y
将同余 $\small 0$ 0的项提出 $\small 2$ 2
$\small \therefore \begin{cases} \ 2ax_1'+by_2=x\\ \ ax_2+2by_1'=y\\ \end{cases}$ ∴{ 2ax1′+by2=x ax2+2by1′=y
$\small \therefore \begin{cases} \ 2ax_1'+b(y_2+1)=x+b\\ \ a(x_2+1)+2by_1'=y+a\\ \end{cases}$ ∴{ 2ax1′+b(y2+1)=x+b a(x2+1)+2by1′=y+a
$\small \therefore \begin{cases} \ 2ax_1'+2by_2'=x+b\\ \ 2ax_2'+2by_1'=y+a\\ \end{cases}$ ∴{ 2ax1′+2by2′=x+b 2ax2′+2by1′=y+a
有解的条件是 $\small (2a,2b)\mid (x+b)$ (2a,2b)∣(x+b)， $\small (2a,2b)\mid (y+a)$ (2a,2b)∣(y+a)
同理
情况三：有解的条件是 $\small (2a,2b)\mid (x+a)$ (2a,2b)∣(x+a)， $\small (2a,2b)\mid (y+b)$ (2a,2b)∣(y+b)
情况四：有解的条件是 $\small (2a,2b)\mid (x+a+b)$ (2a,2b)∣(x+a+b)， $\small (2a,2b)\mid (y+a+b)$ (2a,2b)∣(y+a+b)
AC代码

//优化
#pragma GCC optimize(2)
//C
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
//C++
//#include<unordered_map>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<istream>
#include<iomanip>
#include<climits>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
//宏定义
#define N 1010
#define DoIdo main
//#define scanf scanf_s
#define it set<ll>::iterator
//定义+命名空间
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const ll mod = 998244353;
const ll INF = 1e18;
const int maxn = 1e6 + 10;
using namespace std;
//全局变量
//函数区
ll max(ll a, ll b) { return a > b ? a : b; }
ll min(ll a, ll b) { return a < b ? a : b; }
ll gcd(ll a, ll b) { return !b ? a : gcd(b, a % b); }
//主函数
int DoIdo() {
 
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL), cout.tie(NULL);
 
    int T;
    cin >> T;
 
    while (T--) {
        ll a, b, x, y;
        cin >> a >> b >> x >> y;
 
        ll g = gcd(2 * a, 2 * b);
        bool jg = 0;
        if (x % g == 0 && y % g == 0) jg = 1;
        if ((x + a) % g == 0 && (y + b) % g == 0) jg = 1;
        if ((x + b) % g == 0 && (y + a) % g == 0) jg = 1;
        if ((x + a + b) % g == 0 && (y + a + b) % g == 0) jg = 1;
        if (jg) cout << "Y" << endl;
        else cout << "N" << endl;
    }
    return 0;
}
//分割线---------------------------------QWQ
/*
 
 
 
*/

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来源： https://blog.csdn.net/qq_45739057/article/details/106226538

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