[gym102978C] Count Min Ratio 给定 \(B\) 个蓝色的球、 \(R\) 个红色的球以及一个绿色的球，同颜色的球不可区分。对于一种球的排列方式，记 \(l_B,r_B,l_R,r_R\) 表示球左/右变的蓝/红色球个数，则该排列的权值为 \(\max \{x | l_B\times x\le l_R,r_B\times x\le r_R\}\) 。求所有排
渣滓 记录一些数学的东西。 一些函数 \(\varphi(n)=n(1-\dfrac{1}{p_1})(1-\dfrac{1}{p_2})\cdots(1-\dfrac{1}{p_k})\) \(p_i\) 是质因子，概率论思想算 \(\varphi\)。 \(\mu(m)=\left\{\begin{matrix}(-1)^r,&\text{all }e^i=1\\0,&\text{others}\end{matrix}\right.,
问题 这篇杂谈的目的是解决如下问题： 如何求出如下形式幂级数的封闭形式： \[\sum_{k\ge 0}\binom{2k}{k}z^k \] 方法一 观察系数，可以发现 \(\binom{2n}{n}\) 的形式也出现在了卡塔兰数的通项中。我们有卡塔兰数的封闭形式： \[C(z)=\sum_{k\ge 0}\frac{\binom{2k}{k}}{k+1}z^k=\frac{
传送门 这是我接管阿烜的博客后的第一篇题解，还是好好写一写罢。 我们可以考虑枚举\(i\)，用矩阵来快速计算第二种转移的方式，这需要我们对于\(\forall i\in [1,n]\)快速求出\(f(i)=\sum_{j=1}^n\binom{i+j}{j}b^j\)，其中\(b\)是第二种转移方式的转移矩阵。 对于\(f(i+1)\)，用递推的方法
传送门 【分析】 单位根反演 + CZT \(\begin{aligned} \sum_{i=0}^n\binom n i p^i\lfloor{i\over k}\rfloor&=\sum_{i=0}^n\binom n i p^i\cdot {i-(i\bmod k)\over k} \\&={1\over k}\left(\ p\sum_{i=0}^n \binom n i {\text d\over \text dp}p^i - \s
AtCoder Beginner Contest 215 菜的本质暴露的一览无余（ 一场 ABC 一场 ARC 排名都 1k+，直接掉了 200 多分 QwQ H 是比较神仙的数数题，所以锅了。 \(A\sim D\) \(A\sim C\) 就简单模拟，\(D\) 简单筛一下。 \(E\) 给定字符串序列，只包含前 \(10\) 个大写字母 \(A\sim J\)，求合法的子序列
\[\sum_{k} \prod_{i} \binom{k_{i+1}}{k_i} \]首先注意到 \(k\) 一定是不降的，展开组合数得： \[\sum_{k}\frac{k_m!}{k_1!} \prod_{i} \frac{1}{(k_{i+1}-k_i)!} \]考虑枚举 \(k_1\) 和 \(k_m\) 的差 , 令 \(f_i\) 为确定 \(k_1\) 的值，且满足 \(k_m=k_1+i\) 的方案中，\(\prod_{i} \f
对于序列 \(\{f_n\}\) 和 \(\{g_n\}\)，通过 \(f\) 计算出 \(g\) 叫做正演，通过 \(g\) 计算出 \(f\) 叫做反演。 形式 二项式反演讲的是： \[g_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f_i \Leftrightarrow f_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g_i \]证明 将组合数展开得到： \[\begin{aligned} &
目录题目解法代码 题目 传送门 解法 令 \(f(x,y)\) 为钦定 \(x\) 行 \(y\) 列为同种颜色的方案数，\(g(x,y)\) 为恰好 \(x\) 行 \(y\) 列为同种颜色的方案数，可以想到，当 \(x,y>0\) 时，\(x\) 行 \(y\) 列必须是同种颜色。答案就是 \(3^{n^2}-g(0,0)\)。 那么由高维二项式反演有： \[f(x,y
莫反 void get_mu(int n) { mu[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;} for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++) { vis[prim[j]*i]=1; if(i%prim[j]==0)break;
\(\mathcal{Description}\) Link. 一个游戏包含若干次卡牌抽取，每次以 \(p_l\) 的概率得到 \(+1\)，\(p_d\) 的概率得到 \(-1\)，否则得到 \(0\)，操作后以 \(p\) 的概率结束游戏，求每次抽取后，满足 \(+1\) 数量大于 \(-1\) 数量的抽取轮数的期望值。不取模。 \(0<p\le1\)，\(0\l
tag:dp，组合计数 经典看完dp定义秒懂 考虑算出满足条件的再用总数减。若一个排列满足条件，那么就不能在遇到 \(a_i=n\) 之前返回。所以只需要考虑 \(a_i=n\) 前面的部分。 为什么使用dp？若一个排列扫完之后没有返回，那么单独把这个排列的任何一段区间拿出来扫，都不会返回，并且拿出来的
水表 Tony102 andysj wangrx xxbbkk YZHX CJzjy 凉城無愛 Lumos壹玖贰壹 Lead in 组合数学（Combinatorial mathematics），又称为离散数学。广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组
Link Desciption 求一个可重集 \(S\) 的 \(m\) 子集的个数。\(S\) 的不同元素个数为 \(n\)，\(n\leq 20\)。每种元素的个数 \(a_i\leq 10^{12}\) 。答案对 \(10^9+7\) 取模。 Solution 如果每种元素都有无数种的话，那么直接用插板法可得方案数为 \(\binom{m+n-1}{n-1}\)。但是问题是
参考了官方题解的做法。 第 3 个限制本质要求是什么？ 或者说，什么样的树可以满足第 3 个限制？ 叶向树 根向树 一棵根向树 + 一棵叶向树 + 一条边 拼起来的树 为第三种情况画了一幅直观的图： 用 \(f_i\) 表示 无标号、有根、边同向（即都为叶向或都为根向，但此时只算一种）、\(\text{deg}
目录广义二项级数结论证明证明 (1)证明 (2)证明 (3)广义指数级数 参考文章 ，ei & qwaszx tsdy！ 感觉 "参考文章" 中有些地方的描述有点奇怪或证明相对麻烦，于是就有了这篇 blog 广义二项级数 定义广义二项级数如下： \[\mathcal{B}_t(z) = \sum\limits_{n \ge 0} \binom{tn + 1}{n} \fr
结论：无论怎么走后手一定赢。 这应该是这道题中最难想到的。 这里的一定赢是指不用考虑任何策略，都能躺赢（ 反证法，假定先手赢了，此时场上有奇数个位置被填了，那么一定存在去掉空格后相邻的两个格子颜色相同，它们之间还能再填至少一个，所以后手必胜。 然后就非常简单了，我们计算最终状态，如
CF1450H2 - Multithreading (Hard Version) 题目大意 给定一个均分成\(n\)份(\(n\)为偶数)的圆，每份上有一个元素为0/1，其中一些元素的值未知，且随机 当存在一个方案，0和0连线，1和1连线，使得每个元素都被恰好连一条线时，称环\(c\)合法 定义\(f(c)\)为上述连线方案中 不同色连线交叉的最小
\(\text{Problem}:\)[CTS2019] 珍珠 \(\text{Solution}:\) 设 \(c_{i}\) 表示数 \(i\) 被取到的次数，\(d\) 表示 \(c_{i}\) 为奇数的 \(i\) 的个数。对于一种方案，其合法的充要条件为 \(\sum\limits_{i=1}^{D}\lfloor\frac{c_{i}}{2}\rfloor\geq m\)，即 \(d\leq n-2m\)。首先特判 \(n
link。 简单转化问题：求所有 \(x \in [1, \lfloor R / B\rfloor]\) 对应的合法方案数之和。 对于某一 \(x\)，枚举左边的红蓝球数量，可得： \[\begin{aligned} ans_x =& \sum_{b = 0}^{B}\sum_{r = bx}^{R - (B-b)x}\binom{r + b}{b}\binom{R - r + B - b}{B - b} \\ =& \sum_{b = 0
\(\text{Problem}:\)CF1278F Cards 加强版 \(\text{Solution}:\) 设 \(p=\frac{1}{m}\)，要求的是： \[\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}p^{i}(1-p)^{n-i}i^{k} \]将 \(i^{k}\) 利用第二类斯特林数展开，有： \[\begin{aligned} ans&=\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}p^{i
\(\text{Problem}:\)Sky Full of Stars \(\text{Solution}:\) 答案即总方案数减去没有一行或一列是同种颜色的方案数。 设 \(f_{i,j}\) 表示恰好有 \(i\) 行 \(j\) 列是同种颜色的方案数，\(g_{i,j}\) 表示钦定有 \(i\) 行 \(j\) 列是同种颜色的方案数，有： \[\begin{aligned} g_{i,j}&
一个合法正整数序列，满足：对于每个在序列中出现过的数\(k\)，满足\(k-1\)在最后一个\(k\)前出现过。 对于每个\(k\)，统计在所有序列中\(k\)出现的总次数。 \(n\le 10^5\) 首先有个神仙转化： 记二元组\((val,pos)\)表示值为\(val\)，在\(pos\)位置出现。对其以\(val\)为第一关键字从小到大
\(\text{Problem}:\)[MtOI2018]情侣？给我烧了！ \(\text{Solution}:\) 设 \(f_{k}\) 表示恰好有 \(k\) 对情侣是和睦的方案数，\(g_{k}\) 表示钦定有 \(k\) 对情侣是和睦的方案数。考虑 \(g_{k}\) 的组合意义，在 \(n\) 对情侣中选 \(k\) 对（无序），在 \(n\) 排座位中选 \(k\) 排（有序），情侣之间
参考资料： https://www.luogu.com.cn/blog/Karry5307/eulerian-numbers https://www.cnblogs.com/mengnan/p/9307521.html 欧拉数：\(\langle\begin{matrix}n\\ k\end{matrix}\rangle\)（为了方便编辑记作\(E(n,k)\)），表示：有多少个长度为\(n\)的排列\(p\)，满足\(\sum_i [p_i<p_{i+1}]=k
