数学相关

2021-07-24 09:00:04 阅读：155 来源： 互联网

标签：limits sum mu brack 数学相关 binom brace

莫反

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }

蒯的线性筛 $mu$ 函数。

有：

\[f(i)=\sum\limits_{i|d} g(d) \]

则：

\[g(i)=\sum\limits_{i|d}\mu(\frac{d}{i})\times f(d) \]

可重集组合

有 $k$ 种物品，每个物品有无限个，问选出 $n$ 个物品的方案数有多少种。

直接考虑隔板法，即将 $n$ 分成可以为 $0$ 的 $k$ 段即可，等价于将 $n + k$ 分成非 $0$ 的 $k$ 段。只需要在 $n + k − 1$ 个空隙中插入 $k − 1$ 个板子即可。

所以方案数是：

\[\binom{n+k-1}{k-1}=\binom{n+k-1}{n} \]

圆排列

$n$ 个物体要选出 $m$ 个摆成一个环，问有多少种方案。

\[Ans=\frac{A^m_n}{m}=\binom{n}{m}(m-1)! \]

二项式定理

\[(a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i} \]

容斥原理

很广，这个用的多些。

\[f(i)=\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i} g(i) \]

\[g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \]

卡特兰数

$n$ 边型的三角切割方案数，也等于 $n$ 个元素的出栈序列，还有 左右括号的合法序列 也是卡特兰数。

前几项是 $1, 2, 5, 14, 42, 132$。

通项：

\[C_n=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1} \]

第一类斯特林数

$ {n\brack m}$ 表示 $n$ 个元素分成 $m$ 个环的方案数。

递推式：

\[{n\brack m}={n-1\brack m-1}+(n-1)*{n-1\brack m} \]

运用：

\[n!=\sum\limits_{i=0}^n {n\brack i} \]

\[x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^n {n\brack i}(-1)^{n-i}x^i \]

\[x^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^n {n\brack i}x^i \]

第二类斯特林数

${ n\brace m }$ 表示将 $n$ 个元素放入 $m$ 个相同盒子里，每个盒子非空的方案数。

递推式：

\[{n\brace m}={n-1\brace m-1}+m*{n-1\brace m} \]

运用：

\[m^n=\sum\limits_{i=0}^n{n\brace i}\binom{m}{i}i!=\sum\limits_{i=0}^n{n\brace i}\frac{m!}{(m-i)!}=\sum\limits_{i=0}^n{n\brace i}m^{\underline{i}} \]

标签：limits,sum,mu,brack,数学,相关,binom,brace
来源： https://www.cnblogs.com/Quick-Kk/p/math.html

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