标签：lfloor ch frac 公倍数 sum rfloor times 反演 P3911

题意:

戳这里

分析：

• 推柿子

  我们记 \(m\) 为值域大小, \(c_x\) 为 \(x\) 的个数

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nlcm(A_i,A_j) \\ =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m lcm(i,j)\times c_i\times c_j \\ =\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m \frac{i\times j\times c_i\times c_j}{gcd(i,j)} \\ =\sum_{d=1}^m\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}[gcd(i,j)==1]d\times i\times j\times c_{id}\times c_{jd} \\ =\sum_{d=1}^m\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\sum_{k|gcd(i,j)}\mu(k)\times d\times i\times j\times c_{id}\times c_{jd} \\ =\sum_{d=1}^m\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} \mu(k)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{m}{dk}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{dk}\rfloor}d\times i\times j\times k^2\times c_{idk}\times c_{jdk} \\ 然后我们枚举 t=dk 继续推柿子 \\ =\sum_{t=1}^m t\sum_{k|t}\mu(k)\times k\times (\sum_{i=1}^{\lfloor{\frac{m}{t}}\rfloor}i\times c_{it})^2 \]

我们发现后半坨式子可以边枚举 \(t\) 边算，复杂度是调和级数 \(O(n\ln)\) ，中间的 \(\sum \mu(k)\times k\) 可以预处理出来

所以整体复杂度是 \(O(n\ln)\) 的

代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace zzc
{
    int read()
    {
        int x=0,f=1;char ch=getchar();
        while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();};
        while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-48;ch=getchar();}
        return x*f;
    }
    
    const int maxn = 5e4+5;
    int p[maxn],mu[maxn],f[maxn],c[maxn];
    bool vis[maxn];
    int n,m,cnt;
    long long ans=0,tmp;

    void init()
    {
        mu[1]=1;
        for(int i=2;i<=m;i++)
        {
            if(!vis[i])
            {
                p[++cnt]=i;
                mu[i]=-1;
            }
            for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=m;j++)
            {
                vis[i*p[j]]=true;
                if(i%p[j]==0)
                {
                    mu[i*p[j]]=0;
                    break;
                }
                mu[i*p[j]]=-mu[i];
            }
        }
        for(int i=1;i<=m;i++) for(int j=i;j<=m;j+=i) f[j]+=mu[i]*i;
    }

    void work()
    {
        int x;
        n=read();
        for(int i=1;i<=n;i++) x=read(),c[x]++,m=max(x,m);
        init();
        for(int t=1;t<=m;t++)
        {
            tmp=0;
            for(int i=1;i*t<=m;i++) tmp+=i*c[i*t];
            ans+=1ll*t*f[t]*tmp*tmp;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

int main()
{
    zzc::work();
    return 0;
}

标签：lfloor,ch,frac,公倍数,sum,rfloor,times,反演,P3911
来源： https://www.cnblogs.com/youth518/p/14217859.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。