数论分块 简介 数论分块通常被用来以\(O(\sqrt n)\)的复杂度快速计算形如\(\sum \limits_{i=1}^n f(i)g(\lfloor \frac n i \rfloor)\)的含有除法向下取整的和式，它的核心思想是将\(\lfloor \frac n i \rfloor\)相同的数打包同时计算，主要利用了Fubini定理。 证明 1. 证明时间复杂度
P2398 GCD SUM 题目大意 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j)\) 分析 这个到是蛮好想的，我们推理一下。 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \gcd(i, j) = \sum_{k=1}^n k*\sum_{x=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor} \sum_{y=1}^{\left \lfloor \frac{n}{k} \right
P2261 [CQOI2007]余数求和 分析 求的式子为\(ans = \sum_{i=1}^{n} k\%i\)，我们首先需要知道的是\(a\%b=a-b*\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor\)，则式子就变成了。 \[ans = n*k -\sum_{i=1}^{n}i*\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor \]然后\(\left \lfloor \frac{k}
一堆小玩意，放到一起。 题意：给定一个n个元素数列，保证有一个数\(a\)的出现次数超过\(\lfloor\frac n2 \rfloor\)，求这个数。 数据范围\(n<=3000000,a_i\le2147483647,\)时限0.5s，空间2M。 也就是说你就只开几个变量就行了。（虽然考试的时候有人拿hash玄学乱搞过了） 首先这个时间卡掉了排
题意：给定 \(n=x+y+z\)，求满足以下要求的长度为 \(n\) 的序列的数目：序列由 \(x\) 个 \(1\)，\(y\) 个 \(-1\)，\(z\) 个 \(0\) 组成，序列任意前缀和非负，和在 \([l,r]\) 之间。 考虑确定 \(z\) 和序列和的方案数。 看做卡特兰数类似折线图考虑。则在不能过线的前提下要到 \((x+1,y-x)\)。
T1 按题意模拟即可，注意不用考虑闰年。 T2 \(30\%\) 的数据：使用 \(Floyd\) 求出图的全源最短路，时间复杂度 \(O(n^3)\)。 \(50\%\) 的数据：对图上每个点使用 \(Dijkstra\) 求出最短路，时间复杂度 \(O(n^2 \log n)\)，需要较优秀的常数才能通过。常数十分优秀的 \(Johnson\) 也可获得此部
793. 阶乘函数后 K 个零 图床：blogimg/刷题记录/leetcode/793/ 刷题代码汇总：https://www.cnblogs.com/geaming/p/16428234.html 题目 思路 首先我们令\(zeta(x)\)为\(x!\)末尾零的个数。根据172.阶乘后的零有\(zeta(x)=\sum_{k=1}^\infty\left\lfloor\frac{x}{5^k}\right\rfloor\)
前言 题目传送门！ 更好的阅读体验？ 普及组月赛第一题。别的题解语言有点高深，我补篇题解。 思路 显然，\(\lfloor \dfrac{l}{x}\rfloor, \lfloor \dfrac{l+1}{x}\rfloor, \cdots, \lfloor \dfrac{r}{x}\rfloor\) 是连续的整数。 而且，显然有 \(\operatorname{gcd}(c, c+1) = 1\)。 换句
我们现在要求1~n在mod m意义下的逆元(n<m，m为素数)。 对于一个[1,n]中的数i，我们令\(k=\lfloor\frac{m}{i}\rfloor,r=m \ mod \ i\) 然后\(ki+r \equiv 0 (mod \ m)\) 两边同时乘上\(i^{-1}r^{-1}\)，得到\(kr^{-1}+i^{-1} \equiv 0 (mod \ m)\) 因此\(i_{-1} \equiv -kr^{-1}(mod \
词客有灵应识我，霸才无主独怜君。 主要记录一些 不太熟悉的式子，以提高熟练度。 一个定理 \[\forall a,b,c\in \mathbb{Z},\left\lfloor\dfrac{a}{bc}\right\rfloor = \left\lfloor{\dfrac{\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor}{c}}\right\rfloor \]证明：$$\dfrac{a}{b} = \left\l
一.逆元 如果一个线性同余方程 \(ax \equiv 1 \pmod b\)，则称 \(x\) 为 \(a \bmod b\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\)。 使用方法 对于 \(\frac{a}{b} \bmod p\)，求出 \(b \bmod p\) 的逆元，与 \(a\) 相乘并 \(\bmod p\) 得到结果。 优势：避免了分数的精度问题。 求逆元 exgcd 法 求解 \(ax
贪心、扫描线思想 D - Permutation Restoration 题意 有 \(1-n\) 的一个排列 \(a_i\), 给定 \(b_i\), 满足 \(b_i=\lfloor\frac i{a_i}\rfloor\), 求 \(a_i\) （n <= 5e5) 思路 先解出每一个 \(a_i\) 的取值区间，然后就是经典的作业调度问题 \(a_i\) 的取值区间 \(b_i=\lfloor\fra
VP的。 这场 C 是真的恶心，还好一发过了要不然罚时就更起飞了。 D2 考虑枚举 \([l,r]\)，判断能否使得所有 \(\lfloor\frac{a_i}{p_i}\rfloor\) 都在 \([l, r]\) 范围内。 对于每个 \(a_i,\lfloor\frac{a_i}{p_i}\rfloor\) 只有 \(\sqrt{n}\) 种值，所以这个判断可以用一个桶实现。 注
对原式反演，问题即求$\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left(\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}H(id)\right)^{2}$ 设置阈值$B$，并对$d$和$B$的大小关系分类讨论—— 第一部分 对于$d\le B$，记$F_{1}(m,t)=\sum_{i=1}^{m}H(it)$，则原式即$\sum_{d=1}^{B}\mu(d)F_{1}^{2}(\lfloor\frac{n}{d}
暴露真实水平了，我该怎么办？？？ Day2 A 记 \(F(S)=\sum_{i\in S} a_i\)。 假如能找到两个集合 \(S,T\subseteq [n]\) 使得 \(S\neq T\land F(S)=F(T)\)，那么令 \(S\backslash (S\cap T)\) 中的元素为 \(1\)，\(T\backslash (S\cap T)\) 中的元素为 \(-1\)，其余元素为 \(0\)，这样就构造出了一
万能欧几里得算法 基本描述 对于一条直线 \(\dfrac {px+r}{q}\)，满足 \(p>0,q>0,r\in[0,q-1]\)，求解有关 \(\lfloor\dfrac {px+r}{q}\rfloor,x\) 的一些函数。 考虑在坐标系上考虑这条直线，从 \((0,0)\) 开始走。 定义当直线穿过一条形如 \(y=h(h\in\Z)\) 的横线（下文会称其为横线）时进
概念 我们考虑这样一个问题：求 \(\sum_{i=1}^{k} \lfloor \dfrac{n}{i} \rfloor\) 我们以 \(n=7,k=7\) 为例子，先画出 \(f(x) = \dfrac{7}{x} \ (1 \leq x \leq 7)\) 的图像 因为我们的取值是向下取整的，我们描出所有可能的取值 注意到所有的点按照取值可以分成若干段 我们可以一次
概念 当 \(p\) 是一个质数时，有 \[\dbinom{n}{m} \bmod p \equiv \dbinom{\lfloor \dfrac{n}{p} \rfloor}{\lfloor \dfrac{m}{p} \rfloor} \times \dbinom{n \bmod p}{m \bmod p} \pmod{p} \]实现 引理： 考虑 \[\dbinom{p}{n} \bmod p \]的取值，注意到展开之后其为如下形式 \[\dbino
虽然挺简单的，但用的不多的话，挺容易忘。 问题模型： 给定一个数论函数\(f\)，定义\(S_f(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\) 要求在低于线性的时间复杂度求出\(S_f(n)\) 基本原理： 构造一个数论函数\(g\)，令\(h=f*g\) 可以得到 \(S_f(n)=\frac{1}{g(1)}(S_h(n)-\sum_{i=2}^ng(i)S_f(\lfloor \frac{n}{
积性函数与完全积性函数 \(e(n) = [n=1]\) \(I(n) = 1\) \(id(n) = n\) 迪利克雷卷积 记 \(h = f *g\) 表示 \(f,g\) 的迪利克雷卷积为 \(h\) \[h(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d}) \]迪利克雷卷积有交换律、结合律、分配律： \[\begin{aligned} f* g &= g *f \\ (f* g) *h &= f*
【模板】扩展欧几里得算法 void exgcd(int a, int b, int &g, int &x, int &y) { if (!b) x = 1, y = 0, g = a; else { exgcd(b, a % b, g, x, y); int t = x; x = y; y = t - a / b * y; } } 如何理解 虽然不知道在推什么但是确实
\(BSGS\) 算法，又称 “北（\(B\)）上（\(S\)）广（\(G\)）深（\(S\)）” 算法，“拔山盖世”算法，可以在 \(O(\sqrt{n})\) 的复杂度内求解离散对数问题。 题目描述： 给定质数 \(p\) 和整数 \(a, n\)，求最小的非负整数 \(m\) ，满足 \(a^m \equiv n(mod\ \ p)\) 。 算法分析： 最暴力的算法就是每句每一个 \(
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/218398 数论分块 在1~x 内，因数为 i 的数有 x/i 个，则约数和就是 x/i * i。 则G(n)就是 \[\sum_{i=1}^n i\times \lfloor \frac{n}{i} \rfloor \] 点击查看代码 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int G(
应用 数论分块用于快速计算形如以下公式的和式 \[\sum_{i=1}^n f(i)g(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor) \]前提是 在\(O(1)\) 内计算出 \(f(r)-f(l)\) 或者已经处理出 \(f\) 的前缀和。 复杂度为 \(O(\sqrt{n})\) 数论分块结论 对于\(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)，一些连续的\(i\)的
又是一年SDSC到但是我已经成为时代的眼泪啦 但我翻翻去年的笔记，好像就Day1写得还行，剩下几天就很摸 所以就只把Day1的笔记搬过来啦~（我才不会说临时起意搬笔记的原因是又有好题图了（当然不是）） 配套题单 质数筛 提供一种快速的分解质因数的方法： 在线性筛的时候可以顺道求出每个数的最
