哈密顿量: \[H(r)=\sum_ke^{ikr}H(k)e^{-ikr} \]一，时间反演对称性 \(\hat{T}\): \([\hat{T},H(r)]=\hat{T}H(r)-H(r)\hat{T}=0\) 得到: \(\hat{T}H(r)\hat{T}^{-1}=H(r)\) \[\hat{T}\sum_{k}e^{ikr}H(k)e^{-ikr}\hat{T}^{-1} = H(r) \\ =\sum_{k}e^{-ikr}\hat{T}H(k
莫比乌斯反演 莫比乌斯函数 定义 将 \(n\) 质因数分解 \[n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha _i} \]则 \[\mu (n)= \left\{\begin{matrix} 1, &n=1 \\ 0, & \exists \alpha _i>1\\ (-1)^k, & \forall \alpha _i=1 \end{matrix}\right.\]性质 积性函数. \(s(n) =
上午补充一下PPT，讲了课，发现之前弦图性质的证明有些Bug。 讲课内容没大问题，搞清楚二项式反演和扩展min-max容斥的推导，学习单位根反演。 CF的题还没有时间看。 Todo List 先做完题单里数论+反演的部分 有时间的话写前天CF的比赛题
1.学习了MCS最大势算法，补充了弦图几个性质和konig定理的证明，做完了PPT。 2.继续做了2道网络流24题，几道弦图相关的题目，看了昨天的CF，D题不是很懂 3.最大流最小割定理,弦图是完美图和Tutte，平面图判定的证明还不理解或没找到，一般图的最大匹配还不懂 4.帮着做了一点计数的内容，min-max容
前置知识 数论分块 一些基础数论知识 积性函数 定义：如果一个数论函数 \(f(x)\)，对于任意的在其定义域中的 \(x,y\)，满足 \(f(xy)=f(x)f(y)\ \ (\gcd(x,y)=1)\)，则称 \(f(x)\) 为积性函数(Multiplicative Function)。 若 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称其为完全积性函数(Completely Multipl
今天听 \(\texttt{m}\color{red}{\texttt{yee}}\) 嘴的，赶紧来补个学习笔记。 PS：FFT 本质是长度为 \(2^k\) 的循环卷积。 单位根反演 反演本质： \[\frac1n\sum_{i=0}^{n-1}\omega_{n}^{ai}=[n|a] \]证明： 如果 \(n|i\)，那么显然可以将 \(a\) 拆为若干个 \(\omega_n^n\)，之后式子只剩下
一、产品简介 MOD/MYD04_3K（全称MODIS Terra/Aqua Aerosol 5-Min L2 Swath 3km）是NASA发布的Level 2级气溶胶产品，可用来获取全球海洋和陆地环境的大气气溶胶光学特性（如：光学厚度和大小分布）和质量浓度，通过查找表（LUT）反演得到反射和传输通量，以及其他质量控制和辅助参数，其空间分辨率为3km
二项式反演 定理 \(1\)：\(F(n)=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}G(i)}\Leftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}{(-1)^{n-i}{n\choose i}F(i)}\) 证明： 提取系数有 \(F[n]=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}G[n]}\) \(\displaystyle \to \frac{F[n]}{n!}=\sum_{i=0}^{n}{\frac{1}{(n-i
反演原理 给定函数 \(F\to G\) 之间的（求和）关系式，由此推出 \(G\to F\) 的关系式，此二者之间的相互推导就称为反演关系。 定义两个关系矩阵 \(A\) ，来描述求和关系 \(F\) 和 \(G\) 。 \(F[i]=\sum_{j=1}^{i}{A_{i,j}\times G[j]}\Leftrightarrow G[i]=\sum_{j=1}^{i}{B_{i,j}\times F[
引入 单位根反演一般用于求一类 \(i \bmod k\) 的求和式，通过枚举 \(j \equiv i \pmod{k}\)，将式子转化为 \(k\) 次单位根下的操作。这一般要求 \(k \mid (\mathrm{mod}-1)\)。通常会结合二项式定理使用。 单位根反演 在 FFT 中我们其实已经见过它了： \[[n\mid k] = \frac{1}{n} \su
二项式反演 设 \(f(n)\) 表示 \(n\) 个补集的交集大小，\(g(n)\) 表示 \(n\) 个原集的交集的大小。 \[f_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n \choose i} f_i \]\[f_n = \sum_{i=0}^n {n \choose i} g_i \Leftrightarrow g_n
大朋友与多叉树 首先可以列出来这个： \[F(x)=x+\sum F^{d_i}(x) \]于是设： \[G(x)=\sum x^{d_i} \]\[F(x)=x+G(F(x)) \]\[F(x)-G(F(x))=x \]设 \(H(x)=x-G(x)\)，就有 \(H(F(x))=F(H(x))=x\)，根据拉格朗日反演就有： \[[x^n]F(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{H(x)}{x})^{-n} \]
前情提要： 关于莫比乌斯翻译，是真的懵逼吾死，莫比乌斯函数（好理解），狄利克雷卷积（能懂不会用），莫比乌斯反演（队友泪两行），杜教筛（呵呵），因为看了两天自己不能自理的推出来，所以写个博客帮助下理解，懂了就改。。。。。。。 需要提前知道的知识： 积性函数：对于所有互质的整数都有f(ab)=f(a)f(b)的
就是这样一个柿子： \[f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}g(T)\iff g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}（-1）^{S\oplus T}f(T) \]证明并不是很会证（昨天讲了但没太理解），但它的处理场景是很明晰的，其实就是求一些集合并集时的系数函数。小学奥数就交过结论但一直没证过（吧？）
我们有单位根反演： \[\sum_{k\mid n}[x^n]f(x)=\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}f(\omega_k^i). \]我们有 CRT： \[x\equiv r_{1..n}\pmod{m_{1..n}}\\ \Leftrightarrow x\equiv \sum_{i=1}^nr_i\cdot\operatorname{inv}(M/m_i,m_i)\cdot M/m_i\pmod M. \]我们还有 Lagrange
拉格朗日反演 多项式复合：\(F(G(x))=x\)，则称\(F(x)\)与\(G(x)\)互为复合逆 存在条件：\([x^0]F(x)=0\)，\([x^1]F(x)\ne 0\) 拉格朗日反演： \([x^n]G(x)=\frac{1}{n}[x^{-1}](\frac{1}{F(x)})^n\) 但由于\([x^0]F(x)=0\)无法求逆，所以更通用的是：\([x^n]G(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac
Pytorch实现波阻抗反演 1 引言 地震波阻抗反演是在勘探与开发期间进行储层预测的一项关键技术。地震波阻抗反演可消除子波影响，仅留下反射系数，再通过反射系数计算出能表征地层物性变化的物理参数。常用的有道积分、广义线性反演、稀疏脉冲反演、模拟退火反演等技术。 随着勘探与
我只知道容斥不知道二项式反演。 反演，顾名思义就是有两个函数 \(f,g\)，知道 \(f\) 用 \(g\) 表示后反过来 \(g\) 用 \(f\) 表示。 二项式反演有一个无敌对称的柿子： \[f(n)=\sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}g(i)\iff g(n)=\sum_{i=1}^n(-1)^i\binom{n}{i}f(i) \]这个柿子可以拓展到高
1.P3704-[SDOI2017]数字表格[莫比乌斯反演] Problem 有一个\(n\times m\)的表格，坐标\((i,j)\)处的数字是\(f_{gcd(i,j)}\)，其中\(f\)是斐波那契数列，要求计算\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{gcd(i,j)}\)，答案对\(10^9+7\)取模 Solve \[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{gcd(i,j)}\\ =\p
学校题单里总共 8 个莫比乌斯反演，结果被一句话干掉 5 个！！！ 标题党.jpg 见 Möbius 反演注记 干掉的题目：YY的GCD，数表，DZY Loves Math，数字表格，于神之怒加强版 . 正片开始： 随便一个数论函数 \(f\)，你要求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(\gcd(i,j)) \]首先构造一个数论函数 \(g\)，使得 \(g*
合成孔径雷达（SAR）遥感一方面利用SAR的相位信息获取地面高程和形变信息，另外一个重要的应用利用SAR可以全天时、全天候的获取资料，可用于洪水监测、农作物种植面积监测（如南方地区水稻种植）等，另外，微波后向散射系数与土壤介电常数直接相关，可以建立微波后向散射系数与土壤水分等地表参数间
一.莫比乌斯反演公式 $ $ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ 设 $F(n) = \sum\limits_{d|n}f(d)$ ，那么有 $f(n) = \sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$ 其中 $\mu(d)$ 是这样一个函数： $ d = 1 $ 时 $\mu(d) = 1$ $ d = \prod\limits_{i=1}^k p_{i} ( p_{i} 为互异素数
莫比乌斯反演 坑是开了，补不补就另说了（（（ 1.数论分块 重要结论： 对于常数 \(n\)，满足\[\lfloor \frac{n}{i}\rfloor=\lfloor \frac{n}{j}\rfloor \]成立的最大的满足 \(i \le j \le n\) 的 \(j\) 的 $\left\lfloor{\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }}\right\rfloor $ 。即块 \(\l
第一种形式 \[f(n)=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}g(i) \]\[g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \]第二种形式 \[f(k)=\sum_{i=k}^n \binom{i}{k} g(i) \]\[g(k)=\sum_{i=k}^n (-1)^{i-k}\binom{i}{k} f(i) \] 一般 \(f\) 表示至少选 \(k\) 个的方案数，然后就可以将恰好选 \(
写在前面 这是我的第一篇博客，仅供个人实验记录。不定期更新，主要看自己卷不卷得动，卷不动了就写写。 PS.五月诸事不顺，希望接下来的六月待我温柔！ 一. 数据介绍 使用到的光学卫星数据为MERSI地表反射率数据，为中科院提供的部分测试数据。该数据经过了辐射校正、地理配准(L1
