标签：剩余 gcd res 定理 long times EXCRT lcm define
老师说NOIP会考，那还是复习&总结一下吧
求方程的最小正整数解：
\[\begin{cases} x\equiv a_1 \pmod {b_1}\\ x\equiv a_2 \pmod {b_2}\\ \cdots\\ x\equiv a_n \pmod {b_n}\\ \end{cases} \]假设现在已经求出了前 \(i-1\) 个方程的最小正整数解 \(res\) ，记 \(lcm=\operatorname{lcm}(b_1,b_2,\cdots,b_{i-1})\)
当加入第 \(i\) 个方程的时候，我们需要求出一个整数 \(x\) 满足 \(res+x\times lcm \equiv a_i \pmod {b_i}\)
移项可得 \(x\times lcm + y \times b_i = a_i - res\)
这是一个扩展欧几里得的形式，方程组无解当且仅当存在一个扩展欧几里得方程无解，即 \((a_i - res) \% \gcd(lcm, b_i) \not = 0\)
否则根据小奥知识，\(res' = res + x \times lcm \% lcm'\) ，\(lcm'\) 是指加入 \(b_i\) 之后的 \(lcm\) 值
但是直接拿 \(x\) 去乘 \(lcm\) 很可能爆 long long 。
我们其实可以把 \(x\) 通过取模限制在 \(\dfrac{b_i}{\gcd(b_i, lcm)}\) 以内的，这样只要出题人保证所有数的 \(lcm\) 最后不爆 long long 就行了
具体方法如下：
首先先看一个化简版的（变量与上面无关）
\[xy \% yz = y \times (x \% z) \]这个其实很好理解，就是余式两边同时乘上 \(y\) 结果不变
那么回到本题
\[x \times lcm \% lcm' = x \times lcm \% \dfrac{lcm \times b_i}{\gcd(lcm, b_i)}=lcm \times (x \% \dfrac{b_i}{\gcd(lcm, b_i)}) \]直接取模就行了
当然在实现的时候，由 \(exgcd\) 特性我们会先解出 \(x_0,y_0\) 满足 \(x_0 \times lcm + y_0 \times b_i = \gcd(lcm, b_i)\) ，我们的 \(x\) 应该等于 \(x_0 \times \dfrac{a_i - res}{\gcd(lcm, b_i)}\) ，这一步要龟速乘或者光速乘，可以在这一步取模。
但是由于 \(exgcd\) 的缘故 \(EXCRT\) 必然带 \(\log\) ，用光速乘意义不大。
另外，这东西严格吊打 CRT 啊，到现在为止还没见过 CRT 能做 EXCRT 不能做的事。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double db;
#define x first
#define y second
#define sz(v) (int)v.size()
#define pb(x) push_back(x)
#define mkp(x,y) make_pair(x,y)
#define int long long//------------------Warning!!!-------------------------------------------
//#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
//char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=0;c=getchar();}
while(isdigit(c))x=x*10+c-'0',c=getchar();
return f?x:-x;
}
#define N 100005
int n,a[N],b[N];
void exgcd(int&x,int&y,int&d,int a,int b){
if(!b)return x=1,y=0,d=a,void();
exgcd(y,x,d,b,a%b),y-=a/b*x;
}
int mul(int x,int y,int mod){
// int res=x*y-(long long)((long double)x/mod*y+0.5)*mod;
// return res<0?res+mod:res;//光速乘
int res=0;
while(y){
if(y&1)(res+=x)%=mod;
y>>=1,(x<<=1)%=mod;
}
return res;
}//龟速乘
int excrt(){
int res=a[1],lcm=b[1];
for(int i=2;i<=n;++i){
int x,y,d,t=((a[i]-res)%b[i]+b[i])%b[i];
exgcd(x,y,d,lcm,b[i]);
if(t%d)return -1;
res+=lcm*mul(x,t/d,b[i]/d);
lcm=lcm/d*b[i];
res=(res+lcm)%lcm;
}
return res;
}
signed main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=read(),a[i]=read();
printf("%lld\n",excrt());
return 0;
}
标签：剩余,gcd,res,定理,long,times,EXCRT,lcm,define 来源： https://www.cnblogs.com/zzctommy/p/13908240.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。