标签:图论 矩阵 子图 结点 笔记 学习 邻接矩阵 顶点 二部
一、基本概念
1、简单图:无环且无多重边 伪图:有环或有多重边
2、特殊的简单图:Kn,Qn,Wn,Cn(完全图,n立方图,轮图,圈图)
3、(⭐)
生成子图:生成子图的顶点与原图完全一样,但是边可以取原图中边的任意子集
诱导子图(导出子图):诱导子图中顶点可以取原图的任意非空子集,但是这些顶点之间对应的连线在G和G‘中必须相同
4、握手定理:(主要是度的奇偶性讨论,在欧拉图部分会详细探讨用法,此处略过)
二、二分图(二部图)
1、定义:二部图:顶点集划分为2个不相交类别,边的端点在不同类别中 完全二部图:来自不同类别的两个顶点均有边
2、判定:二种颜色对顶点着色,相邻顶点赋以不同颜色(等价性)
3、(⭐)二部图的匹配
完全匹配的充分必要条件 —>(霍尔婚姻定理,该定理提供了一组存在完全匹配的充分必要条件)
带有二部划分(V1,V2)的二分图G(V,E)中有一个从V1到V2的完全匹配当且仅当对于V1的所有子集A,有|N(A)|>=A
证明:数学归纳法,设<=k均成立,对k+1进行证明
(笔记较抽象,不具有太高的参考意义)
霍尔定理的推论:设二部图G是一个k-正则的(k >=1), 则G有完美匹配
证明略
三、图的表示
1、关联矩阵:只适用于无向图,无向图中的简单图和伪图均适用,横向为边,纵向为顶点
2、邻接矩阵:无向图,有向图均可以(无向图中的简单图和伪图均适用,无向图为对称矩阵)
注:图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的,只要进行和行、列和列的交换,则可得到相同的矩阵。
若有二个简单有向图,则可得到二个对应的邻接矩阵,若对某一矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的矩阵,则此二图同构。(同构的一个判定方法√)
3、(⭐)邻接矩阵的计算
(a)逆图:把图沿着左上到右下的对角线对称过去
(b)
bij表示结点i和结点j均有边指向的那些结点的个数,若i=j,则bii表示结点i的出度。
(c)
Cij表示同时有边指向结点i和结点j的那些结点的个数;若i=j,则Cii表示结点i的入度
(d)
若aik×akj=1,则表示有i→k→j长度为2的有向边;dij表示i和j之间具有长度为2的通路个数。
4 、沃舍尔算法回顾
纸上算法:
(从1到n一共n行n列)
第k行为1的元素所在列画纵向直线
第k行为1元素所在行画横向直线
直线相交位置如果为0,则改为1
5、(⭐)图的同构
图形不变量:顶点数,边数,度序列,可以查看特定度的子图是否同构
法一:如果以上的图形不变量都相同,可以考虑找两个图之间的对应函数。如果能够找到,则两个图同构。
法二:写出两个图的对应邻接矩阵,两个矩阵如果可以通过行和行,列和列交换重合,则两个图同构。
标签:图论,矩阵,子图,结点,笔记,学习,邻接矩阵,顶点,二部 来源: https://www.cnblogs.com/stucky/p/10934294.html
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