标签：begin end 游戏 cdot 矩阵 phi bmatrix NOI2013 Matrix
做题时间：2022.7.4
\(【题目描述】\)
给定正整数 \(a,b,c,d(a,b,c,d\leq 10^9)\) ，有一个 \(n\) 行 \(m\) 列（ \(1\leq n,m\leq 10^{1000000}\) ）的矩阵 \(F\) ，满足：
\[F_{1,1}=1 \]\[F_{i,j}=a\cdot F_{i,j-1}+b(j\neq 1) \]\[F_{i,1}=c\cdot F_{i-1,m}+d(i\neq 1) \]求 \(F_{n,m}\mod 10^9+7\) 的值。
\(【输入格式】\)
一行 \(n,m,a,b,c,d\)
\(【输出格式】\)
一行一个数表示 \(F_{n,m}\mod 10^9+7\)
\(【考点】\)
矩阵快速幂，欧拉函数
\(【做法】\)
看数据范围可知要使用矩阵快速幂，同时递推式表明用第二个式子确定好当前行第1列的数字后，第m列的数字即可用第一个式子套矩阵快速幂快速求出，而下一行第1列的数字又和这一行第m列有关， 因此可以考虑将两个式子合并 。
- 第一个式子：
就有：
\[\begin{bmatrix} F_{n,m} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{m-1}= \begin{bmatrix} F_{n,1}\\ 1 \end{bmatrix} \]这里我们发现，不能直接求出的 \(F_{n,1}\) 可以用第二个式子带入。
- 第二个式子：
就有：
\[\begin{bmatrix} F_{1,m} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F_{n,1}\\ 1 \end{bmatrix} \]这里我们发现，第一个式子中不能直接求出的 \(F_{n,1}\) 可以用第二个式子带入，得到：
\[\begin{bmatrix} F_{1,m} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{n-1} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}^{m-1}= \begin{bmatrix} F_{n,1}\\ 1 \end{bmatrix} \]这个式子中不能直接求出的 \(F_{1,m}\) 又可以带回第一个式子，得到：
\[\begin{bmatrix} f_{1,1}\\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}^{2m-2} \cdot \begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{n-1} \cdot = \begin{bmatrix} F_{n,1}\\ 1 \end{bmatrix} \]直接用矩阵快速幂即可。
对于输入而言，根据欧拉定理：
\[a^x\equiv a^{x\mod \phi(p)} \pmod p \]我们用字符串读入\(n,m\) ，然后直接对 \(\phi(10^9+7)=10^9+6\) 取余即可。
注意 ：在 \(a=1\) 时，原来作为底数的矩阵主对角线均为1，相当于数字1，此时欧拉定理不适用，不能模 \(\phi(p)\) 而应当模 \(p\)
\(【代码】\)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iomanip>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll phi=1e9+6,N=1e6+50,MOD=1e9+7;
struct Matrix{
ll a[3][3];
Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
Matrix operator *(const Matrix x){
Matrix ans;
for(int i=1;i<=2;i++){
for(int j=1;j<=2;j++){
for(int k=1;k<=2;k++){
ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*x.a[k][j]%MOD)%MOD;
}
}
}
return ans;
}
}A1,A2,A3;
char nn[N],mm[N];
ll a,b,c,d,n,m;
void Pre()//字符串转化为数字
{
int lenn=strlen(nn+1);
int lenm=strlen(mm+1);
ll pow=1;
for(int i=lenn;i>=1;i--){
n=(n+pow*(nn[i]-48));
pow*=10;
if(a==1) n%=MOD,pow%=MOD;//特判底数矩阵为1的情况
else n%=phi,pow%=phi;
}
pow=1;
for(int i=lenm;i>=1;i--){
m=(m+pow*(mm[i]-48));
pow*=10;
if(a==1) m%=MOD,pow%=MOD;
else m%=phi,pow%=phi;
}
}
Matrix FastPow(Matrix x,ll b)//矩阵快速幂
{
Matrix ans;
ans.a[1][1]=ans.a[2][2]=1;
while(b){
if(b&1) ans=ans*x;
x=x*x;
b>>=1;
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%s%s",nn+1,mm+1);
scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
Pre();
A1.a[1][1]=A1.a[1][2]=1;
A2.a[1][1]=a,A2.a[1][2]=0,A2.a[2][1]=b,A2.a[2][2]=1;
A3.a[1][1]=c,A3.a[1][2]=0,A3.a[2][1]=d,A3.a[2][2]=1;
//赋初值
Matrix x=FastPow(A2,(2*m-1)%phi);
Matrix tmp=FastPow(A2,(m-1)%phi)*A3;
Matrix ans=A1*FastPow(tmp,(n-1)%phi)*FastPow(A2,(m-1)%phi);
printf("%lld\n",ans.a[1][1]%MOD);
return 0;
}
标签：begin,end,游戏,cdot,矩阵,phi,bmatrix,NOI2013,Matrix 来源： https://www.cnblogs.com/Unlimited-Chan/p/16448266.html
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