标签:lfloor le abc217 limits int 每组 rfloor Groups
题意:
给定正整数 \(n\) 和 \(m\),对每个 \(k=1,\dots ,n\),求:
把 \(n\) 编号为 \(1\sim n\) 的小球分成 \(k\) 组,组顺序不计,编号对 \(m\) 取模相等的小球不能在同一组,分组方案数是多少?
\(2\le n \le 5000,2\le m\le n\)
思路:
法一:组合数+二项式反演
设 \(g(k)\) 表示每组不同(每组都是可区分的)时的方案数,那么答案是 \(g(k)/k!\)
定义集合 \(S_i:=\{x\equiv i\pmod m\}\)。考虑把 \(S_i\) 中的所有数分到不同的组,记 \(f(k)=\prod\limits_{i=0}^{m-1} A_k^{|S_i|}\),要求 \(k\ge |S_i|\)
注意是排列数而非组合数。\(|S_i|\) 随便算算就行了,我推的是 \(|S_i|=\lfloor n/m\rfloor + [0< i\le n\%m]\)
实际上 \(f(k)\) 表示每组不同,允许有空组的方案数。显然 \(f(k)=\sum\limits_{i=0}^k C_k^i g(i)\)
根据二项式反演定理,\(g(k)=\sum\limits_{i=0}^k(-1)^{k-i}C_k^i f(i)\)
void sol() {
int n, m; cin >> n >> m;
vector<ll> f(n+1);
for(int k = 1; k <= n; k++) { //先求所有f[]
f[k] = 1; for(int i = 0; i < m; i++)
mul(f[k], A(k, (i&&i<=n%m)+n/m));
}
for(int k = 1; k <= n; k++) { //计算g
ll ans = 0; for(int i = 0; i <= k; i++)
add(ans, ((k-i)%2?-1:1) * C(k, i) * f[i] % mod);
mul(ans, invfact[k]);
cout << ans << endl;
}
}
法二:dp
\(f(i,j)\) 表示把 \(i\) 个人分成 \(m\) 组的合法方案数。
若 \(i\) 一个人一组则把其余 \(i-1\) 个人分成 \(j-1\) 组
否则先把其余 \(i-1\) 个人分成 \(j\) 组,再把 \(i\) 放到某一组。\(1\sim i-1\) 中与 \(i\) 同余的数有 \(\lfloor \frac{i-1}m \rfloor\) 个,这些数分别在不同的组且 \(i\) 不能与他们同组
所以 \(f(i,j)=f(i-1,j-1)+(j-\lfloor \frac{i-1}m \rfloor)f(i-1,j)\)
void sol() {
int n, m; cin >> n >> m;
f[0][0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= i; j++)
f[i][j] = (f[i-1][j-1] + (j-(i-1)/m) * f[i-1][j] % mod) % mod;
for(int k = 1; k <= n; k++) cout << f[n][k] << endl;
}
标签:lfloor,le,abc217,limits,int,每组,rfloor,Groups 来源: https://www.cnblogs.com/wushansinger/p/16345772.html
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