标签：记录 题解 times mex 做题 考虑 转移 rightarrow
CF1608F MEX counting
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题解：
- 首先显然考虑 DP ，设计状态：有一维显然是 \(i\)，然后 \(k\) 表示当前的 mex 值 ，最后 \(j\) 表示已经选的数中 \(>k\) 的数的个数。
- 然后就是很神仙的转移，考虑从 \(i\) 转移到 \(i+1\)。
- 如果加入 \(a_i\) 对 mex 不产生贡献，即 \(a_i \neq k\) ，则有 \(f_{i,j,k} \times k \rightarrow f_{i+1,j,k}\)（在 \([1,k]\) 中选择 \(a_i\)）, \(f_{i,j,k} \times j \rightarrow f_{i+1,j,k}\)（在 \(j\) 个数中选择 \(a_i\)），\(f_{i,j,k} \rightarrow f_{i+1,j+1,k}\) （选择了一个 \(>k\) 且没有出现过的数）。
- 如果加入 \(a_i\) 对 mex 产生了贡献，即 \(a_i = k\)，那么考虑枚举 \(k \rightarrow t\)，\([k,t-1]\) 之间的数必须全部出现，转移则为 \(f_{i,j,k} \times \frac{j!}{{(j-(t-k+1))!}}\)，相当于在 \(j\) 个数中选出 \(t-k+1\) 个数且要求有序。
- 然年这样的复杂度是 \(O(n^2k^2)\) 的，瓶颈在于第二种转移。
- 那么现在考虑优化，首先改主动转移为被动转移，然后令 \(T=j+k\)，设状态为 \(f_{i,T,k}\)，那么第二种转移就变为了 \(\sum\limits_{k < t} \frac{(j-k)!}{(j+1-t)!} \times f_{i,j,k} \rightarrow f_{i+1,j+1,t}\)，然后这个可以前缀和优化，空间可以滚动数组，最后总复杂度为 \(O(n^2k)\)，常数很大，需要卡常。
总结： 关键在于状态的设计以及 \(j+k\) 的发现。
Codechef DESTRUCT
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题解：
- 一次操作分为两个人显然不太可做，于是考虑改成这个样子： B 先选一个堆，然后 A、B 轮流拿石子和给对方选堆。
- 然后一个经典的考虑博弈论的手法是：如果当前必败，考虑能不能让对方接下来把自己的活干完。
- 然后就很神奇：如果当前 \(a_i>1\) ，拿完必败的话，就拿剩 1 个，再选这个给对方，这样对方就陷入了自己刚才的处境；否则自己拿完。也就是说，第一个拿到 \(a_i > 1\) 的堆的人必胜（全为 1 特判即可）。
- 所以一开始每个人肯定强迫对方拿 1，判断奇偶性即可。
标签：记录,题解,times,mex,做题,考虑,转移,rightarrow 来源： https://www.cnblogs.com/lgj-lgj/p/15868928.html
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