标签：begin end 矩阵 times bmatrix 快速 乘法
矩阵快速幂
前置芝士
矩阵乘法
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当矩阵\(A\)的列数与矩阵\(B\)的行数相等时，矩阵\(A\)与矩阵\(B\)可进行相乘
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如矩阵\(A\)为\(m\times n\)的矩阵，矩阵\(B\)为\(n \times p\)的矩阵，他们的乘积\(C\)是一个\(m \times p\)的矩阵
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\(C\)的第\(i\)行\(j\)列的元素为
\[c_{i,j}=\sum\limits^n_{r=1}a_{i,r}b_{r,j} \] -
举例
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\(\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}b&d\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\times b&a \times d\\c \times b&c\times d\end{bmatrix}\)
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懒得打了直接引的百度百科图片
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方阵：行数等于列数的矩阵
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单位矩阵：左上角到右下角这条对角线上全为1、其余全为0的方阵88（相当于乘法中的1）
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矩阵乘法有结合律、分配律，没有交换律
快速幂
见快速幂(主要用带取模的快速幂)
矩阵快速幂
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顾名思义，其实就是矩阵乘法+快速幂
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模板（伪）
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//还没编译，大概能跑，看个思路 struct Matrix{ int G[105][105]; }; int m,n,p,MOD; //生成单位矩阵 Matrix CI(Matrix &A){ for(int i = 0;i<n;i++){ for(int j = 0;j<n;j++){ A[i][j] = (i == j); } } } //矩阵乘法 Matrix MatrixMul(Matrix A,Matrix B){ Martix R; memset(R.G,0,sizeof(R.G)); for(int i = 0;i<m;i++){ for(int j = 0;j<n;j++){ for(int k = 0;k<n;k++){ R.G[i][k] += A.G[i][j]*B.G[j][k]; R.G[i][k] %= MOD; } } } return R; } //矩阵快速幂 Matrix MatrixQuickPow(Matrix A,int b){ Matrix I,Result; CI(I); while(b){ if(b&1) Result = MatrixMul(Result,A); A = MatrixMul(A,A); b /= 2; } return Result; }
应用
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超大数的递推，如P1962斐波那契数列
因为我们知道，
\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\)
\(f(n-1)=f(n-1)\)
即
\(\begin{align}\begin{cases}f(n)&=1\times f(n-1)+1\times f(n-2)\\f(n-1)&=1\times f(n-1)+0\times f(n-2)\end{cases}\end{align}\)
因此我们得到了
\(\begin{bmatrix}f(n)\\f(n-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\times \begin{bmatrix}f(n-1)\\f(n-2)\end{bmatrix}\)
因为矩阵乘法具有结合律，所以斐波那契数列的第n项为
\(\begin{bmatrix}f(n)\\f(n-1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}^{n-2}\times \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\)
算就完了
矩阵的katex打起来太麻烦了( ‵o′)
标签：begin,end,矩阵,times,bmatrix,快速,乘法 来源： https://www.cnblogs.com/burnling/p/15834788.html
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