标签：博弈 游戏 sg 石子 笔记 异或 gs SG mex
一点前置补充
先定义几个概念：
1.一般博弈
emmm，一个人玩多没意思。。。多个人玩情况可能太复杂，所以一般博弈讨论的就是双人间博弈，并且双人进行公平游戏，即规则相同且信息对等，两人轮流操作（即非随机选择），无法操作者判负。
2.状态
类似于DP中的状态，即当前的游戏局面。
3.必胜（败）局面
如果存在一种一定获胜的方法，那么当前局面就是必胜局面。
反之，如果不能存在一种一定获胜的方法，那么当前局面就是必败局面。
4.转移
根据规则进行的一次操作，使得当前局面改变为另一局面，这个过程就是转移。
5.显然的结论
由1，3可得，由于这是两个人的游戏，定义必胜点（即当前点对应状态）为N点（Next Player），必败点为P点（Previous Player），所以必有以下结论：
1.一个只能转移到N点的点为P点（只能使对手必胜），一个点只要能转移到P点则为N点（可以使对手必败）。
2.空状态为必败点，因为无法进行下一步操作。由此倒退可得所有情况的种类。
3.整个局面必由NP两种点组成，所以只要初始局面确定，那么能否胜利取决于先后手。
6.SG定理
1.定义一个点的SG值sg(x)为mex{y|x->y}，其中{y|x->y}表示当前点的所有转移点的SG值，mex表示集合中没出现的最小自然数，如mex{1,3,4}=0，mex{0,1,2,4,5}=3。
2.如果sg(x)=0，那么x为必败点，否则为必胜点。
3.如果有多个交替进行的游戏（如在多堆石子中取），那么其SG值为所有游戏的SG值的异或和。
Nim游戏
有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。
来看这几种情况：
1.有1堆石子，每次能取任意多个石子。
好吧我承认很那啥。。。。。
首先可以知道gs(0)=0，然后就可以推出sg(1)=mex{sg(0)}=1,sg(2)=mex{sg(0),sg(1)}=2....sg(n)=mex{sg(0),sg(1),...sg(n-1)}=n。
2.有两堆石子，每次能取任意多个石子。
首先sg(0,0)=0，sg(1,0)=sg(0,1)=mex{sg(0,0)}=1,sg(1,1)=mex{sg(1,0),sg(0,1)}=0.......
然后我们就可以发现一些好van的东西：sg(a,b)=a^b。
3.再推广一下，有n堆石子，每次能从任意一堆中取任意多个石子。
我们可以发现sg()=
。
为什么这样计算是对的呢？
我们要证明的就是如果一个游戏可以由几个组合游戏G1，G2，G3....Gn表示，那么这个游戏的状态就可以用sg(G1)^sg(G2)^......^sg(Gn)来表示。
因为我们每次只会对一个的sg值进行改变（每次只会选择一个组合游戏进行操作），所以就是考虑证明异或和为0必败必然会转移到必胜，不为0必胜必然可以找到一个比原gs值小的数使得异或和为0。
前者很简单，，那么显然如果要让异或和为0，gs(n)是不可改变的，所以一旦改变异或和就不是0了。
后者也比较好理解，令，找到k在二进制下第一位为1的位置，我们只要在所有gs值中将一个当前位为1的取反，后面赋为其他gs值后几项的异或和，因为将一个1换为了0，所以得到的新的gs值必然会比原来小。
所以证毕，如果所有游戏的gs值异或和为0，那么必败，反之必胜。
来道例题：HDU1848，题解传送门
威佐夫博弈
有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
所谓奇异局势，就是在当前局势下先手必输，前几个奇异局势通过打表可以知道是：（0,0），（1,2），（3,5），（4,7）......可以发现前后两项的差为0,1,2,3.....前一项为前面未出现的最小自然数，即mex，后一项为前一项+当前是第几项（记（1,2）为第一项）。
数据范围小的话可以通过打表过，但数据范围大了后，需要一些定理来帮助判断。
所以抛一道例题：POJ1067，题解传送门，证明都放在这道题里的。
会持续更新（update:2019.2.23）
标签：博弈,游戏,sg,石子,笔记,异或,gs,SG,mex 来源： https://blog.csdn.net/g21glf/article/details/87885457
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