标签：limits min sum 容斥 反演 FWT 原理 subseteq
一般化，有若干个物品，若干个属性，每个物品有若干个属性（可能没有）。现在要求有属性的物品的总数。
我们要求的，就是拥有某一个属性的总数，减去拥有某两个属性的总数，加上拥有某三个属性的总数，依次类推。
应用
直接容斥
固定什么是物品，什么是属性，然后直接根据定义直接容斥。
一种付款方案是物品，第 \(i\) 种硬币是否过度使用是属性，然后容斥。
二项式反演
\[f(n) = \sum \limits_{i= 0}^n \binom{n}{i}g(i) \Longleftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i =0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i) \]【题解】CF1516E Baby Ehab Plays with Permutations
莫比乌斯反演
\[F=f*1\Longleftrightarrow f = F * \mu \]子集反演
\[f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}g(T) \]\[g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|S|-|T|}f(T) \]二项式反演是特殊形式的子集反演，当函数 \(f,g\) 只与集合大小有关时这就是二项式反演。
一般配合子集卷积。
FWT
\[FWT(a)_i = \sum\limits_{j\oplus i=i} a_i \]当 \(\oplus = or\) 时，\(FWT(a)=merge(FWT(a_0),FWT(a_0)+FWT(a_1))\)
当 \(\oplus = and\) 时，\(FWT(a)=merge(FWT(a_0)+FWT(a_1),FWT(a_1))\)
当 \(\oplus = xor\) 时，\(FWT(a)=merge(FWT(a_0)+FWT(a_1),FWT(a_0)-FWT(a_1))\)
\(IFWT\) 直接逆运算即可，不用考虑顺序。
\(Min-Max\) 容斥
\[\min\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max\{T\} \]\[\max\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\} \]这玩意对期望也成立。
\[E(\min\{S\})=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\max\{T\}) \]\[E(\max\{S\})=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\min\{T\}) \]一般化
\[\max_k\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+k}\binom{|T|-1}{k-1}\min\{T\} \]\[\min_k\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+k}\binom{|T|-1}{k-1}\max\{T\} \]这样我们将求第 \(k\) 大元素转化为求最小元素。
为啥这阴间玩意总是和期望出在一起（
标签：limits,min,sum,容斥,反演,FWT,原理,subseteq 来源： https://www.cnblogs.com/SharpnessV/p/14985468.html
本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享； 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关； 4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除； 5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。