CF1713F 利用lucas定理，\(b_S\)表示下标\(T\)与\(S\)无交的\(a_T\)的异或，由于部分\(b_S\)未知，不能直接iFWT。回顾容斥：\([S=\emptyset]=\sum_{T\subseteq S}(-1)^|T|\)，\([n=0]=\sum_{i=0}^{n}C(n,i)(-1)^i\)，\([n=1]=\sum_{d|n}\mu(d)\)，利用这种思想构造：令\(A=S\cap T\)，\([A=\emptys
垃圾 \(O(3^n)\) 做法/kk 对于每个 \(k\) 分别计算答案，注意到 \(i\) 一定是 \(k\) 的子集所以先枚举一个 \(i\)，此时 \(j\) 应该是被钦定 \(i\) 为 \(1\) 的部分为 \(0\)，剩下 \(k\) 的子集部分可以随意取 \(0/1\)。 于是弄一个类似前缀和的东西 \(f[S]\)，\(S\) 的第 \(i\) 位为 \(0/
按位或 题目链接：luogu P3175 题目大意 有一个数 0 你一开始，然后每次你可以与上一个数 0~2^n-1 中的，每个数有它被你选择的概率。 然后问你期望要弄多少次才能使得这个数变成 2^n-1。 思路 首先这个弄成 \(2^n-1\) 显然不好弄，我们考虑一个神奇的东西，就是 min-max 容斥。 因为这个 \(
题目 点这里看题目。 分析 神奇的题目啊！ 以下设被删除的边集为 \(Q\)。 思路一 正常人的思路。 随便拉一棵生成树 \(T\)，并定一个根。假如我们只删除了一条树边 \(e\)，设 \(S(e)\) 为覆盖 \(e\) 的非树边的集合，则图不连通当且仅当 \(Q\supseteq S(e)\)。 那么删除了多条树边呢？假如我
就是这样一个柿子： \[f(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}g(T)\iff g(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}（-1）^{S\oplus T}f(T) \]证明并不是很会证（昨天讲了但没太理解），但它的处理场景是很明晰的，其实就是求一些集合并集时的系数函数。小学奥数就交过结论但一直没证过（吧？）
Solution 注意到 \(n\le21\)，优先考虑状压。 记全集为 \(U\)，\(f_S\) 为点集 \(S\) 的所有合法的划分方案的满意度之和，\(\operatorname{Sum}(S)\) 为点集 \(S\) 的人口和，即 \(\sum_{x\in S}w_x\)，\(g_S\) 为点集 \(S\) 是否合法（合法为 \(1\)，否则为 \(0\)）。根据题意可写出如下转移方程
快速沃尔什变换 解决什么问题？ 回顾之前学过的快速傅里叶变换，能在 \(O(n\log n)\) 的时间复杂度内计算下面这个卷积式： \[C[k] = \sum_{i+j=k}A[i]\times B[j] \]而快速沃尔什变换解决的问题与上式略有不同： \[C[k] = \sum_{i\bigoplus j = k} A[i]\times B[j] \]其中，\(\bigoplus\)
公式＆定理： 两个互为反演的关系矩阵互逆 二项式反演 1 \(\large F(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \binom{n}{i} G(i) \Longleftrightarrow G(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i \binom{n}{i}F(i)\) 二项式反演 2（对于形式1进行基本反演推论的应用） \(\large F(n) = \displayst
公式总结二项式有关:$F[n]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC(n,i)G[i]$$G[n]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC(n,i)F[i]$$F[n]=\sum_{i=1}^nC(n,i)G[i]$$G[n]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{n-i}F[i]$$F[n]=\sum_{i=m}C(i,n)G[i]$$G[i]=\sum_{i=m}(-1)^{i-n}C(i,n)F[i]$$F[n]=\sum_{i=n}(-1)^iC(i,n)G[i]$$G[
很智障也很基本的一些知识，但我真的不会，作为一名初三的蒟蒻应该情有可原吧。 \(a\in A\) $a\in A$：a是A中的一个元素 \(A\cap B\)：$A\cap B$A和B的交集 \(A\cup B\)：$A\cup B$A和B的并集 \(A\subset B=B\supset A\)：$A\subset B=B\supset A$A被B包含 \(A\subseteq B=B\supseteq A\)：$A\s
第一章 - 算法基础与算法分析 fundamentals of algorithms and algorithm analysis 1.2、数学基础：集合与关系 (Mathematical foundations: sets and relations)1.2.1、集合、等价集合、基数(Sets, set equality, cardinality)(1)、集合(2)、等价集合(3)、空集(empty set)(4
文章目录 第三章 集合代数3.1 基本概念3.2 集合运算3.3 幂集和笛卡尔集 第三章 集合代数 特点： 研究问题的广泛性分析思考问题的抽象性处理问题的统一性 3.1 基本概念 集合 (SET)：在一定范围内的讨论的对象组成的整体。 表示方法： 枚举法 隐式法(叙述法)：用共同特征
关系的特殊性质及其闭包 特殊性质 自反关系反自反关系对称关系反对称关系传递关系内容充要条件 I X ⊆
https://atcoder.jp/contests/abc220/tasks/abc220_h 题解 考虑折半搜索，将 \(n\) 个点分为大小为 \(\dfrac{n}{2}\) 的两个集合 \(S, T\) 设 \(F1[s]\ (s\subseteq S)\) 表示如果选了 \(s\) 中的点安装摄像头，那么被监视的边的数量的奇偶性 设 \(F2[t]\ (t\subseteq T)\) 表示如果
考虑折半，将点按照标号是否 \(\le \frac{n}{2}\) 分成两个集合 \(S_1, S_2\)。 首先原问题的形式有点奇怪，我们不妨统计没有被覆盖覆盖的边为偶数条的情况。 这样一来问题转化为白点 导出子图 的边数为偶数的情况，这与原问题等价。 考虑 \(S_1, S_2\) 中怎样的两个集合合并是合法的，形
HDU6971. I love max and multiply 题意： 给出长度为\(n\)的两个序列\(\{a_n\},\{b_n\}\)(下标为\(0\)到\(n-1\))。设\(c_k=\max\limits_{i\&j\geq k}(a_ib_j)\)，求\(\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_k\) 分析： 关键是如何快速求解所有的\(c_k\)。 为了方
一般化，有若干个物品，若干个属性，每个物品有若干个属性（可能没有）。现在要求有属性的物品的总数。 我们要求的，就是拥有某一个属性的总数，减去拥有某两个属性的总数，加上拥有某三个属性的总数，依次类推。 应用 直接容斥 固定什么是物品，什么是属性，然后直接根据定义直接容斥。 硬币购物 一种
1.1 基础定义 定义 \(M=(S,\mathcal I)\) 是拟阵当且仅当 \(\mathcal I\subseteq 2^S\)，且 （遗传性）\(J\subseteq I\in\mathcal I\Rightarrow J\in\mathcal I\)。 （扩张性）\(I,J\in\mathcal I\land |I|<|J|\Rightarrow\exist z\in J\backslash I,I\cup\{z\}\in\mat
定义 访问结构: 设 P = { P 1 , P
\(Tutte-Berge\;Formula\) 定义\(q(G)\)表示图\(G\)有多少个奇联通分量 定义\(C(G)\)为图\(G\)中的联通分量的集合 那么，一个图\(G\)的最大匹配的大小为\(\frac{1}{2}\min_{S \subseteq V(G)}(|S|+|G|-q(G-S))\) 考虑\(S\)为任意一个集合，\(M\)为任意一个匹配 在\(M\)中，设满足与\(S
五次以上方程无求根公式的证明框架 一般方程 f ( x ) = x
正题 题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1355 题目大意 定义\(f_i\)表示斐波那契的第\(i\)项，给出一个大小为\(n\)的集合\(S\)求\(lcm(f_S)\) 解题思路 如果每个质数的次数分开考虑，那么\(gcd\)就是次数取\(min\)，\(lcm\)就是次数取\(max\)，所以可以
莫比乌斯反演 形式一 $$F(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\Rightarrow f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac n d)F(d)$$ 形式二 $$F(n)=\sum\limits_{n|d}f(d)\Rightarrow f(n)=\sum\limits_{n|d}\mu(\frac d n)F(d)$$ 二项式反演 形式一 $$f(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}g(i
题意：有两棵基于同一点集的树，点集大小为 n n n ，两棵树中有 o p op op 棵未
WC2019 数树 题意： 给定 \(n,y,op\) 问题 \(0\) ：给定两棵树 \(T_1,T_2\)，求给每个点赋值 \([1,y]\) 的方案数，使得如果存在一条路径 \(p\to q\) 同时属于两棵树，那么这两个点必须是相同颜色。 问题 \(1\)：给定 \(T_2\) ，假设 \(T_1\) 取所有可能的树 \(n^{n-2}\) 种，求问题 \(0\) 的答案
