\[若f( x)g( x)= h(x),求证h'( x)=f'( x)g( x)+ f( x) g '(x ) \]\[\\ \\ \]\[即证明[f(x)\cdot g(x)] ' = f '(x)g(x)+ f(x)g '(x ) \]\[\\ \\ \]\[h '(x)= \lim_{ Δx \to 0 } \frac { h(x + Δx)- h(x)} { Δx } =\lim_{
中国剩余定理 定理 \[f(x)=\begin{cases}x \equiv a_1\pmod{m_1}\\x \equiv a_2\pmod{m_2}\\.\\.\\.\\x \equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}其中：m_1,m_2,m_3...,m_n 互质。 \]且 \(M=\prod\limits_{i=1}^{n}m_i,M_i=\frac{M}{m_i},t_i=M_i^{-1}\)，\(t_i\) 是在模 \(
本文同步更新于洛谷博客 题目描述 给定平面直角坐标系上的四个点，作一个正方形使得这 \(4\) 个点分别在正方形每条边所在的直线上。 题解 补充一下 ternary_tree 的证明，好像还挺简单的。 过 \(A\) 作 \(AM\perp BS\) 交 \(BS\) 于点 \(M\)，过 \(C\) 作 \(CN\perp DX\) 交 \(DX\) 于
\begin{array}{c} 解:(\lg{2})^3+(\lg{5})^3+3\lg{2} \cdot \lg{5}\\ 设:\lg{2}=a,\lg{5}=b\\ 得:a^3+b^3+3ab\\ \because (a+b)(a^2-ab+b^2) \Rightarrow a^3+b^3\\ \therefore a^3+b^3+3ab \Rightarrow (a+b)(a^2-ab+b^2)+3ab\\ \\ 已知:\lg{2}+\lg{5}
P8255 [NOI Online 2022 普及组] 数学游戏 \(Prat \ 0:\) 这里是 pj T2 不会做的屑 这里提供做法和证明。 \(Part \ 1:\) 设 \(\gcd(x,y)=k\)，则 \(x=k \times n \ \ y=k \times m, \ k\in N\) $ \because z=x \times y \times \gcd(x,y)$ \(\therefore y \times gcd(x,y)=\frac
\begin{array}{c}换底公式之推导:\\证明:\quad \log_{a}{b}=\frac{\log_{c}{b}}{\log_{c}{a}} \\\\设:\log_{a}{b} =r\\\log_{c}{b} =m\\\log_{c}{a} =n\\\\即:a^r=b\\c^m=b\\c^n=a\\\\\because a^r=(c^n)^r=b\\\because c^m=b\\\therefore
\begin{array}{c}proof:\quad \log_{a}{x^n}=n\log_{a}{x}\\设:\log_{a}{x}=m,\quad 即a^m=x\\则:\log_{a}{x^n} \Rightarrow \log_{a}{(a^m)^n} \Rightarrow \log_{a}{a^{mn}}\\\because a^m=x,\quad \log_{a}{x}=m\\\therefore \log_{a}{a^m}=
题目描述 求 a 的 b 次方对 p 取模的值，其中 0≤a,b≤10^9 0<p≤10^9 输入格式 三个用空格隔开的整数a,b和p。 输出格式 一个整数，表示a^b mod p的值。 输入样例 2 3 9 输出样例 8 此题部分数论知识 a ≡
CF1244C The Football Season 洛谷链接 题意：求一组 $x,y(x + y \le n)$，使得 $w \cdot x + d \cdot y = p$。 看到这样的题，第一反应当然是用扩欧直接写。 然而本题数据规模太大，会导致 $\text{TLE}$。 换一种思路：题目中指明 $w \gt d$，从这个角度下手。 要让 $x+y \le n$，不难发现只
Abstract 工具: RESTler 功能: 分析API说明并生成请求sequence 方法：1. inferring dependencies among request types declared in the Swagger specification (e.g., inferring that a resource included in the response of a request A is necessary as input argument of anoth
介绍 \(Miller-\ Rabin\) 是一种基于随机的算法，其主要根据两个定理构建而成。 1、费马小定理 若 \(p\) 是质数，且 \(\gcd(a,p)=1\)，则有 \(a^{p−1}≡1 \pmod p\)。 假设现在要判断 \(x\) 是否为质数，那么就可得出，只需任意找一个数 \(a\)，若其不满足 \(a^{x-1} \equiv 1 \pmod x\)，这
对于任意 整数 \(a,b,m\)，若有关于 整数 \(x,y\) 的方程 \[ax+by=m \]则该方程有解的充要条件为 \(\gcd(a,b)\mid m\). 证明： \(\because \gcd(a,b)\mid a,\gcd(a,b)\mid b\) \(\therefore \gcd(a,b)\mid ax,\gcd(a,b)\mid by\) \(\therefore \gcd(a,b)\mid (ax+by)\) \(\t
题目大意 对于一个正整数 \(N\)，存在一个正整数 \(T\)，使得 \(\frac{N-\frac{1}{2}T}{N-T}\) 的值是正整数。 请输出所有可能的正整数 \(T\)（按从小到大的顺序排列）。 对于 \(100 \ \%\) 的数据，\(N \leq 10^{14}\) 解题思路 考虑分解这个上面那个式子，设 \(k\) 为 \(\frac{N-\frac{1}{2
Although we still can use passthru() to execute commands but we can not appoint 'config.php' to be inspected. Even though we all know that the flag is hidden under that above file in red staff. FYI: the wildcard character in Linux is '
BZOJ3028 食物 题面 链接 BZOJ dark BZOJ 题目描述 明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！我们暂且不讨论他有多么 NC，他又幻想了他应该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带 \(N\) 件物品的方案数。他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦
和式 记号 符号:\(\huge\sum\) eg. \(a_1 + a_2 + \cdots + a_{k-1} + a_k + a_{k+1}+\cdots +a_{n-1}+a_n = \sum_{k=1}^na_k=\sum_{1\leq k \leq n} a_k\) \(\sum_{\substack{1\leq k\leq n \\ \text{k } prime}}\) 成套方法 解决将和式转为封闭式的方法 前\(n\)个自然数的和
整除 定义：设a，b是两个任意的正整数，其中b \(\neq\) 0，若存在一个整数q，使得：a=qb 则称b整除a，记为b | a。 整除的运算定理 1.设a, b, c \(\neq\) 0是三个整数，若 c | a, c | b，则对任意整数s, t有：c | (sa+tb) 2.设a, b都是非零整数，若a | b，b | a，则a = \(\pm\)b Eratoshenes筛法 定理：设n是一
点此进入比赛 \(A\)：Connection and Disconnection（点此看题面） 大致题意： 给你一个字符串，将它重复\(k\)次。进行尽量少的操作，每次修改一个位置上的字符，使得不存在两个相邻位置上字符相同。求最少操作次数。 一个很\(naive\)的想法，就是将原串直接扫一遍，遇到与前一位相同的字符，就修改这
欧拉定理 若 \(gcd(a,m)=1\),则 \[a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\] \(\phi(m),m>1\)表示\(\le m\)的数中与\(m\)互质的正整数的个数 证明 设与\(m\)互质的数为\(b_1,b_2,...,b_{\phi(m)}\) \(\because gcd(a,m)=1\) \(\therefore ab_1,ab_2,...,ab_{\phi(m)}\)都与\(m\)互质，且均不
扩展欧几里得 现在有一个不定方程\(ax+by=c\),我们需要求出这个方程的一组特解，且\(x,y\)都为整数。根据悲蜀定理，要得到整数解，必须满足\(\gcd(a,b)|c\),(接下来的所有\(gcd(a,b)\)都会简写为\((a,b)\)) 首先我们可以先求出方程\(ax'+by'=(a,b)\)的特解。 \[ \begin{align} \because&
题目描述 生日\(Party\)结束的那天晚上，剩下了一些糖果，\(Gandon\)想把所有的都统统拿走，\(Speakless\)于是说：“可以是可以，不过我们来玩\(24\)点，你不是已经拿到了一些糖果了吗？这样，如果谁赢一局，就拿走对方一颗糖，直到拿完对方所有的糖为止。”如果谁能算出来而对方算不出来，谁就赢，但是如
问题引入 \(\sigma_0(n)=n的正因子数量\) 求\(S(n,k)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i^k)\quad(n,k\le10^{10})\) 概念 积性函数：\(f(a)*f(b)=f(a*b)\quad(a,b互质)\) 完全积性函数则不要求互质 P为质数集合 线性方法 欧拉筛+积性函数 \(令\sigma(i)=\sigma_0(i^k)，则S(n,k)=\sum\sigma(i)
顶函数（\(\lceil {x} \rceil\)）、底函数（\(\lfloor {x} \rfloor\)）： 常称之为高斯（取整）函数。 定义： 顶函数：\(\geq {x}\)的最小整数。 底函数：\(\leq {x}\)的最大整数。 举个例子： \(1.\lceil {1.5} \rceil=2\) \(2.\lfloor {1.5} \rfloor=1\) \(3.\lceil {-1.5} \rceil=-1\) \(4.\lfloor
题意：给定一个\(n\)个数的序列(\(n\)为偶数) 。将数列组合为若干组。每组的数的个数至少为2。 求每一组数的和平方后，所有组之和的最小值。 思路: 排序后，第\(i\)小与第\(i\)大两两配对就行了。 证明： A.两两配对更优 因为假设两个数组合起来\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，相比于$ a^2+b^2$，只
