标签：Mathematical 关系 1.2 ... 元素 relations 集合 subseteq

第一章 - 算法基础与算法分析 fundamentals of algorithms and algorithm analysis

• 1.2、数学基础：集合与关系 (Mathematical foundations: sets and relations)
• • 1.2.1、集合、等价集合、基数(Sets, set equality, cardinality)
  • • (1)、集合
    • (2)、等价集合
    • (3)、空集(empty set)
    • (4)、基数(Cardinality)
    • • (4.1)、编程中的集合
  • 1.2.2、子集、超集、涉及子集的证明(Subsets and supersets, proofs involving subsets)
  • • (1)、子集与超集(Subsets and supersets)
    • (2)、子集的证明(Proofs involving subsets)
    • (3)、定理(Theorem)
  • 1.2.3、集合的运算与证明(Set operations and proofs)
  • • (1)、集合的运算(Set Operations)
    • • (2)、补数(complement)
      • (3)、定理(相交与并集定律)(Theorem (Laws for intersections and unions))
      • (4)、前面定理的证明(Proof of the previous Theorem)
      • (5)、定理 - 补数定律(Theorem - Laws for complements)
  • 1.2.4、对、元组与笛卡尔积（Pairs, tuples and Cartesian products）
  • • (1)、对与元组(Pairs and tuples)
    • • (1.1)、元组(Tuples)
    • (2)、两个集合的笛卡尔积(Cartesian product of two sets)
  • 1.2.5、关系:定义、例子、属性(Relations: definition, examples, properties)
  • • (1)、关系的定义(Relations: definition)
    • (2)、关系的例子(Relations: example)
    • • (2.1)、集合与自身的关系
    • (3)、关系的性质：自反 (Properties of relations: reflexive)
    • (4)、关系的性质：对称的、反对称的(Properties of relations: symmetric, antisymmetric)
    • (5)、关系的性质：传递性(Properties of relations: transitive)
    • (6)、关系的性质：全数的(Properties of relations: total)
  • 1.2.6、等价关系与顺序关系(Equivalence relations, order relations
  • • (1)、等价关系的定义(Equivalence relation: definition)
    • (2)、等价类、代表的定义(Equivalence classes, representatives: definition)
    • (3)、顺序关系的定义(Order relations: definition)

1.2、数学基础：集合与关系 (Mathematical foundations: sets and relations)

1.2.1、集合、等价集合、基数(Sets, set equality, cardinality)

(1)、集合

定义： 集合 A 是被称为元素或成员的对象的无序集合。
Definition: A set is an unordered collection of objects, called elements or members
of the set.

记法：
x ∈ A x \in A x∈A 表示 x x x 是集合 A A A 的元素
x ∉ A x \notin A x∈/​A 表示 x x x 不是集合 A A A 的元素

我们将根据以下原则使用这个定义：
我们可以定义集合：

• 通过枚举元素： A : = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 = 0 , 1 , 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , 5 . A := {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {0, 1, 2, · · · , 5}. A:=0,1,2,3,4,5=0,1,2,⋅⋅⋅,5.
  这被称为花名册方法(roster method)或扩展集表示法(extensional set notation)。
• 根据元素的特性：
• B :={x | x ∈ A and x is even}
  ={x ∈ A | x is even }
  ={x | x is a natural number and x is even and 0 ≤ x ≤ 5}.
  这被称为集合构建符号(set builder notation)或内涵集合符号(intensional set notation)。(具体的记法 B := {0, 2, 4}).

我们总是用花括号(curly brackets)表示集合。竖栏’ | ‘可以读为’ such that ‘或者’with the property that’。例如：{x | x ∈ A and x is even} 能够被读作 ‘the set of all x such that x is
an element of A and x is even.’

同时也可能发现：

• 有时用 ‘:’ 而不是 ‘|’
• 用 ‘,’ 而不是 ‘and’

例如：B = {x: x ∈ A, x even}

注意：

• {x | 0 ≤ x ≤ 5} 不是一个集合，因为它不确定x是什么类型的数字(例如，x可以是实数，也可以是整数)。
• {A | A is a set, A ∉ \notin ∈/​ A} 导致 罗素悖论 (Russell’s Paradox).
• Bertrand Russell (1872-1970): British philosopher, logician, mathematician,
  historian, writer, social critic, political activist, and Nobel laureate.
  罗素悖论表明，朴素集理论的一些形式化尝试导致了一个矛盾，即:
  设A:= {B | B ∉ \notin ∈/​ B}。那么A∈A iff A ∉ \notin ∈/​ A

如何避免这些问题？
在有意的使用表示法时，记住要显式地提到集合中被选择的元素!
{x ∈ A | x has property (properties) P}, 其中A是一个集合，P是一个属性，或者属性列表，A的每个元素可能存在也可能不存在。

重要的基础属性：

• 集合中的所有元素都是不同的。即一个值要么是集合中的元素，要么不是。它不能在集合中出现多次。
• 集合中的元素没有固定的顺序。
• 同一个集合可以用不同的方法来描述
  {1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3} = {2, 1, 3} = {i | i integer, 0 < i ≤ 3}.

集合可以由“原子(‘atomic’)”或“组合(‘composed’)”元素构建。集合可以包含不同种类的元素。例如：
集合{1，(黑桃，8)，{红，蓝}，5,1}由以下元素组成:
元素1、元素(黑桃，8)、元素{red, blue}和元素5

标准数集的记法：

• 自然数集 N : = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } N:=\{0, 1, 2, 3, . . .\} N:={0,1,2,3,...}
• 整数集 Z : = { 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 , . . . } Z:=\{0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .\} Z:={0,1,−1,2,−2,3,−3,...}
• 正自然数集 Z > 0 : = { 1 , 2 , 3 , . . . } Z_{>0}:=\{1, 2, 3, . . .\} Z>0​:={1,2,3,...}
• 有理数集 Q : = { a b ∣ a , b ∈ Z , b ≠ 0 } Q:=\{\frac{a}{b}|a, b\in Z, b\neq 0\} Q:={ba​∣a,b∈Z,b​=0}
• 实数集 R : = R:= R:=
• 正实数集 R > 0 : = R_{>0}:= R>0​:=

(2)、等价集合

如果两个集合 A 和 B包含相同的元素，则它们相等。于是有：
所有 x ∈ A x\in A x∈A 满足 x ∈ B x\in B x∈B，并且：
所有 x ∈ B x\in B x∈B 满足 x ∈ A x\in A x∈A

例子：
{1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3},
{1, 2, 3} = {2, 1, 3}
{1, 2, 3} = {i | i is an integer, 0 < i ≤ 3}.

(3)、空集(empty set)

定义：
空集是不包含元素的(唯一确定的)集。
我们表示为： ∅ \varnothing ∅ 或者 { } \{\} {}

只有一个元素的集合被称为单例集(singleton set)。

注意:
Ø是一个集合，但是不含任何元素。
{Ø}是一个非空集合，集合只有空集这个元素。
一个常见的错误是将∅与{∅}混淆
类比: 空文件夹与包含空文件夹的文件夹不同。

(4)、基数(Cardinality)

一个集合叫做有限集，如果它只包含有限的元素，也就是说，如果有一个数n∈N，使这个集合恰好包含n个元素。

集合M是：
∣ M ∣ : = { − x , t h e   n u m b e r   o f   e l e m e n t s   i n   M ,   i f   M   i s   f i n i t e ∞ , o t h e r (1) |M|:= \begin{cases} -x,the\ number\ of\ elements\ in\ M,\ if\ M\ is\ finite\\ \infty, other \end{cases} \tag{1} ∣M∣:={−x,the number of elements in M, if M is finite∞,other​(1)

举例：
|{2, 4, 6}| = 3
|∅| = 0
|{∅}| = 1
|N| = ∞
|{2, 4, 6, 4}| = 3
|{7, {7, 14}}| = 2

(4.1)、编程中的集合

在编程语言中，数据类型或类型的概念是建立在集合的概念之上的。特别是，数据类型或类型是集合的名称，以及可以对该集合中的对象执行的一组操作。

例如，boolean是集合{0,1}的名称以及该集合的一个或多个元素上的操作符，如AND、or和NOT

1.2.2、子集、超集、涉及子集的证明(Subsets and supersets, proofs involving subsets)

(1)、子集与超集(Subsets and supersets)

设A，B为集合

• A是B的子集(subset)(表示:A ⊆ \subseteq ⊆B)，当每一个A中的元素也是B中的元素
• A是B的真子集(proper subset)(表示:A ⊊ \subsetneq ⊊B)，当A ⊆ \subseteq ⊆B且A ≠ \neq ​=B
• A是B的超集(superset)(表示:A ⊇ \supseteq ⊇B)，当B ⊆ \subseteq ⊆A
• A是B的真超集(proper superset)(表示:A ⊋ \supsetneq ⊋B)，当A ⊇ \supseteq ⊇B且A ≠ \neq ​=B

维恩图：
维恩图(Venn Diagrams)能够用来说明集合之间的关系，然而，维恩图却不能用来代替证明。

表示 A ⊆ \subseteq ⊆B:

(2)、子集的证明(Proofs involving subsets)

• 证明 A 是 B 的子集: 要证明A ⊆ \subseteq ⊆ B, 就要证明 当 x 属于 A 则x 属于 B.
• 证明 A 不是 B的子集: 要证明 A ⊈ \not\subseteq ​⊆ B，就要寻找一个x ∈ \in ∈A但是x ∉ \notin ∈/​B
• 证明 A 是 B的真子集: 要证明A ⊊ \subsetneq ⊊ B，就要证明 A ⊆ \subseteq ⊆ B，并且就要寻找一个x ∈ \in ∈B但是x ∉ \notin ∈/​A

举例：

• 所有小于10的奇数正整数集是所有小于10的正整数集的子集
• Q ⊆ R Q\subseteq R Q⊆R

这些事实中的每一个都紧跟着一个元素，它属于第一组，也属于第二组。

(3)、定理(Theorem)

对每一个集合 S S S

• S ⊆ S S\subseteq S S⊆S。这是正确的，因为第一个集合中的每个元素也是第二个集合中的一个元素。
• ∅ ⊆ S \emptyset\subseteq S ∅⊆S。这和Part (a)的原因是一样的。事实上，因为空集合(第一个集合)中没有元素，所以没有什么可显示的。

对于集合 A, B, C:

• A = B 当且仅当 A ⊆ \subseteq ⊆ B and B ⊆ \subseteq ⊆ A。 如果 A = B 那么 A 和 B 根据等价集合的定义则包含相同的元素，因此A中每一个元素也在B中(A ⊆ \subseteq ⊆ B)，并且B中每一个元素也在A中(B ⊆ \subseteq ⊆ A)。
  相反的，假设A ⊆ \subseteq ⊆ B and B ⊆ \subseteq ⊆ A，我们得到A中的每一个元素都在B中，并且B中的每一个元素都在A中，因此A和B包含相同的元素，因此A = B。
• 如果 A ⊆ \subseteq ⊆ B 并且 B ⊆ \subseteq ⊆ C, 那么 A ⊆ \subseteq ⊆ C。假设A ⊆ \subseteq ⊆ B 并且 B ⊆ \subseteq ⊆ C，我们需要去证明 A ⊆ \subseteq ⊆ C，比如每一个 x ∈ \in ∈ A 都满足 x ∈ \in ∈ C。设 x ∈ \in ∈ A为任意元素。因此，通过假定A ⊆ \subseteq ⊆B，我们知道x ∈ \in ∈B，然后通过假定B ⊆ \subseteq ⊆C，我们知道x ∈ \in ∈C。由于x ∈ \in ∈ A是任意选取的，因此证明了A ⊆ \subseteq ⊆C。

1.2.3、集合的运算与证明(Set operations and proofs)

(1)、集合的运算(Set Operations)

从给定的集合中构建新的集合。

幂集(power set)：
集合S的幂集是集合S的所有子集的集合，比如：
P ( { a , b } ) = { ∅ , { a } , { b } , { a , b } } P(\{a, b\}) = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} P({a,b})={∅,{a},{b},{a,b}}

注意：在文献中，你也会发现P(S)用Pow(S)或 2 s 2^s 2s表示。

假设A 和 B 为集合

• 交集(Intersection)： A ∩ B : = { x : x ∈ A   a n d   x ∈ B } A\cap B:=\{x:x\in A\ and\ x\in B\} A∩B:={x:x∈A and x∈B}
• 并集(Union): A ∪ B : = { x : x ∈ A   o r   x ∈ B } A\cup B:=\{x: x\in A\ or\ x\in B\} A∪B:={x:x∈A or x∈B}
• 差集(Different): A − B : = { x ∈ A : x ∉ B } A - B:=\{x\in A:x\notin B\} A−B:={x∈A:x∈/​B}
• 对称差(Symmetric difference): A ⊕ B : = ( A − B ) ∪ ( B − A ) A\oplus B:=(A - B)\cup(B-A) A⊕B:=(A−B)∪(B−A)

注意：
差集有时也写作 A ∖ B A\setminus B A∖B
对称差有时也写作 A Δ B A\Delta B AΔB

(2)、补数(complement)

我们想要集合 A A A的补数，简写为 A ‾ \overline{A} A，是所有不属于 A A A 的元素的集合。
准确定义 A ‾ \overline{A} A时要注意:
如果我们简单的假设：
A ‾ : = { x : x ∉ A } \overline{A}:=\{x:x\notin A\} A:={x:x∈/​A}
空集合 ∅ \varnothing ∅ 将包含一切——“所有集合的集合”(set of all sets)。
这个集合不可能存在，这就导致了罗素悖论(Russell’s paradox)。

因此，我们总是考虑一个固定全集(fixed universe)U中的集合，而U本身就是一个集合。

定义:设 U U U 为我们的固定全集，该全集本身是一个集合，设 A ⊂ U A\subset U A⊂U是一个集合。
在集合 U U U 中， A A A的补数为集合: A ‾ : = U − A \overline A:=U-A A:=U−A

(3)、定理(相交与并集定律)(Theorem (Laws for intersections and unions))

假设 A , B , C A, B, C A,B,C为集合，于是：

• 幂等定律(Idempotent laws): A ∩ A = A A\cap A = A A∩A=A和 A ∪ A = A A\cup A = A A∪A=A
• 交换律(Commutative laws): A ∩ B = B ∩ A A\cap B = B\cap A A∩B=B∩A和 A ∪ B = B ∪ A A\cup B = B\cup A A∪B=B∪A
• 结合律(Associative laws): A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C和 A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
• 吸收率(Absorption laws): A ∩ ( A ∪ B ) = A A\cap(A\cup B)=A A∩(A∪B)=A和 A ∪ ( A ∩ B ) = A A\cup(A\cap B)=A A∪(A∩B)=A
• 分配律(Distributive laws): A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)和 A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

(4)、前面定理的证明(Proof of the previous Theorem)

A , B , C A, B, C A,B,C 为任意集合:

(5)、定理 - 补数定律(Theorem - Laws for complements)

假设 U U U 是一个固定全集，它自身也是一个集合，假设集合 A , B ⊆ U A, B\subseteq U A,B⊆U，于是：

1.2.4、对、元组与笛卡尔积（Pairs, tuples and Cartesian products）

(1)、对与元组(Pairs and tuples)

• 对任意的 a , b a, b a,b，我们假设 ( a , b ) (a, b) (a,b)表示由组件(components) a a a和 b b b组成的(有序)对。
• 对于 k ∈ N k\in N k∈N和任意对象 a 1 , . . . , a k a_1, . . ., a_k a1​,...,ak​，我们假设 ( a 1 , . . . , a k ) (a_1, . . ., a_k) (a1​,...,ak​)表示由组件a_1, . . ., a_k组成的有序 k k k阶元组。
• 等价元组(Equality of tuples):对于所有 k , l ∈ N k, l\in N k,l∈N 并且 a 1 , . . . , a k , b 1 , . . . , b l a_1, . . ., a_k, b_1, . . ., b_l a1​,...,ak​,b1​,...,bl​
  

元组的组件也称为元素。

(1.1)、元组(Tuples)

• 对于k = 0，存在一个k阶元组，即空元组()，它没有任何组件。
• 注意元组(tuples)与集合(sets)之间的不同：
  ( 1 , 2 ) ≠ ( 2 , 1 ) (1, 2)\neq(2, 1) (1,2)​=(2,1)，但是 { 1 , 2 } = { 2 , 1 } \{1, 2\}=\{2, 1\} {1,2}={2,1}，因为顺序问题
  ( 1 , 1 , 2 ) ≠ ( 1 , 2 ) (1, 1, 2)\neq(1, 2) (1,1,2)​=(1,2)，但是 { 1 , 1 , 2 } = { 1 , 2 } \{1, 1, 2\}=\{1, 2\} {1,1,2}={1,2}，因为元组存在重复组件(元素)

(2)、两个集合的笛卡尔积(Cartesian product of two sets)

两个集合A, B的笛卡尔积，用A × \times × B表示，是有序对(a, b)的集合，其中a属于A, b属于B。
换句话说：
A × B : = { ( a , b ) ∣ a ∈ A   a n d   b ∈ B } A\times B:=\{(a, b)|a\in A\ and\ b\in B \} A×B:={(a,b)∣a∈A and b∈B}

举例：
假设 A = { a , b } A=\{a, b\} A={a,b} 并且 B = { 1 , 2 , 3 } B = \{1, 2, 3\} B={1,2,3}
A × B = {(a, 1),(a, 2),(a, 3),(b, 1),(b, 2),(b, 3)}.
A × {1} = {(a, 1),(b, 1)}.
A × ∅ = ∅.

集合 A 1 , A 2 , … , A n A_1, A_2, …, A_n A1​,A2​,…,An​ 的笛卡尔积，表示为 A 1 × A 2 × . . . × A n A_1\times A_2\times . . .\times A_n A1​×A2​×...×An​，是有序n元组 ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) (a_1, a_2, ..., a_n) (a1​,a2​,...,an​) 的集合，这里 a i a_i ai​ 属于 A i A_i Ai​，其中 i = 1 , 2 , 3 , . . . , n i = 1, 2, 3, ..., n i=1,2,3,...,n
.
换句话说：
A 1 × A 2 × . . . × A n : = { ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∣ a 1 ∈ A 1 , . . . , a n ∈ A n } A_1 × A_2 × . . . × A_n:= \{(a_1, a_2, . . . , a_n) | a_1 ∈ A_1, . . . , a_n ∈ A_n\} A1​×A2​×...×An​:={(a1​,a2​,...,an​)∣a1​∈A1​,...,an​∈An​}

注意：
.如果 A A A是一个集合，我们用 A 2 A^2 A2 去表示 A × A A\times A A×A，笛卡尔积为 A A A 和它自己。

更普遍的说，对于 n ∈ N n\in N n∈N，我们设 A n : = A × . . . × A A^n:= A\times ...\times A An:=A×...×A，这里乘积包含 n n n个因子。

1.2.5、关系:定义、例子、属性(Relations: definition, examples, properties)

(1)、关系的定义(Relations: definition)

• 设 A A A 和 B B B 为集合， A A A 到 B B B 的关系是 A × B A\times B A×B 的子集
• 让 k ∈ Z > 0 k\in Z_{>0} k∈Z>0​ 并且 让 A 1 , . . . . . . , A k A_1, ......, A_k A1​,......,Ak​为集合
  A 1 , . . . . . . , A k A_1, ......, A_k A1​,......,Ak​ 的一个关系是 A 1 × , . . . . . . , × A k A_1\times, ......, \times A_k A1​×,......,×Ak​的一个子集。数字 k k k 叫做关系的亲和性(arity)。
• 假设 A A A 是一个集合， 并且 k ∈ N k\in N k∈N。
  A A A上的 K K K元关系是 A k A^k Ak的子集。

注意： 因此:关系是笛卡尔积的子集。

(2)、关系的例子(Relations: example)

为了在格式(day, month, year)中指定日期，我们使用范围

则有效日期(vaild date)是下列集合的子集：

例如：有效日期(vaild date)对于DayValues, MonthValues, YearValues来说
这个关系包含，比如说 tuple (23, 6, 1912), 但不包含 tuple (30, 2, 1912).

(2.1)、集合与自身的关系

集合A与自身之间的关系具有特殊的意义，设A是一个集合。集合A上的关系是A与自身的关系。

设A:={1, 2, 3, 4}。R对A的关系中有哪些对(paris)R:= {(a, b) | a 除以 b}?

(3)、关系的性质：自反 (Properties of relations: reflexive)

在某些关系中，一个元素总是与其自身相联系的。例如，如果A是所有人的集合，R是由a满足b的所有(a, b)对(paris)组成的关系，那么对于所有a∈A，(a, a)∈R。

定义：对于集合A上的每个元素a∈A，如果(a, a)∈R，R是集合A的关系，则称为自反关系。
这可以通过∀x (x, x)∈R在谓词逻辑中形式化，其中x的定义域是A中所有元素的集合。

(4)、关系的性质：对称的、反对称的(Properties of relations: symmetric, antisymmetric)

在某些关系中，第一个元素与第二个元素相关，当且仅当第二个元素也与第一个元素相关时。
由一对(x,y)组成的关系，其中x和y是计算机学院的学生，这些学生具有至少该属性的类。
由一对(x,y)组成的关系，其中x和y是人，然后x loves y不具备该属性。

定义：
如果对于所有a,b ∈ \in ∈A，(a,b) ∈ \in ∈R 能表示 (b,a) ∈ \in ∈R在集合A上的一个关系R叫做对称的(symmetric)。

在集合A上的一个关系R，使得对于所有a,b ∈ \in ∈A，如果(a,b) ∈ \in ∈R 并且 (b,a) ∈ \in ∈R，就有a=b，这种关系叫做反对称的(antisymmetric)。

对称性(symmetry)可以用谓词逻辑形式化为 ∀ x ∀ y ( ( x , y ) ∈ R → ( y , x ) ) ∈ R \forall x\forall y((x,y)\in R\rightarrow (y,x))\in R ∀x∀y((x,y)∈R→(y,x))∈R
反对称性(antisymmetry)可以形式化为 ∀ x ∀ y ( ( ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , x ) ∈ R ) → x = y ) \forall x\forall y(((x,y)\in R\wedge (y,x)\in R)\rightarrow x=y) ∀x∀y(((x,y)∈R∧(y,x)∈R)→x=y)
这里，x和y的定义域是集合A的所有元素。

举例：
考虑下列所有整数集合上的关系
1. { ( a , b ) ∣ a ≤ b } \{(a,b) | a\le b\} {(a,b)∣a≤b}
2. { ( a , b ) ∣ a = b } \{(a,b) | a = b\} {(a,b)∣a=b}
3. { ( a , b ) ∣ a + b ≤ 3 } \{(a,b) | a + b \le 3\} {(a,b)∣a+b≤3}

判断哪些关系是自反的(reflexive)?哪个是对称的(symmetric)?哪个是反对称的(antisymmertic)?

Reflexive: 1,2
Symmetric：2,3
Antisymmertic：1,2

所有的(a,a)都在R中，则R是自反关系。
所有的(a,a)都不在R中，则R是反自反关系。
a≠b时，(a,b)与(b,a)要么都在R中，要么都不在R中，那么R就是对称关系。
a≠b时，(a,b)与(b,a)要么都不在R中，要么只有一个在R中，那么R就是反对称关系。

(5)、关系的性质：传递性(Properties of relations: transitive)

如果我们考虑包含(x, y)的关系式R，如果x在班上所有学生的集合上比y年长，那么我们知道如果(x, y) ∈ \in ∈R和(y, z) ∈ \in ∈R，那么(x, z) ∈ \in ∈R。

定义：如果(a,b) ∈ \in ∈R，并且(b,c) ∈ \in ∈R，就有对于所有a,b,c ∈ \in ∈A有(a,c) ∈ \in ∈R，该集合A上的关系R被称为传递性(transitive)。

它可以使用谓词逻辑形式化为: ∀ x ∀ y ∀ z ( ( ( x , y ) ∈ R ∧ ( y , z ) ∈ R ) → ( x , z ) ∈ R ) \forall x\forall y\forall z(((x,y)\in R\wedge(y,z)\in R)\rightarrow(x,z)\in R) ∀x∀y∀z(((x,y)∈R∧(y,z)∈R)→(x,z)∈R)，这里x，y和z的定义域为集合A的所有元素。

(6)、关系的性质：全数的(Properties of relations: total)

定义：如果对所有a,b ∈ \in ∈A，满足：(a,b) ∈ \in ∈R或者(b,a) ∈ \in ∈R，则在集合A上的一个关系R称为全数的

它可以用谓词逻辑格式化为： ∀ x ∀ y ( ( x , y ) ∈ R ∨ ( y , x ) ∈ R ) \forall x\forall y ((x,y)\in R\vee(y,x)\in R) ∀x∀y((x,y)∈R∨(y,x)∈R)，这里定义域为集合A的所有元素。

举例：
考虑下列所有整数集合上的关系：
1. { ( a , b ) ∣ a ≤ b } \{(a,b)|a\le b\} {(a,b)∣a≤b}
2. { ( a , b ) ∣ a = b   o r   a = − b } \{(a,b)|a=b\ or\ a=-b\} {(a,b)∣a=b or a=−b}
3. { ( a , b ) ∣ a + b ≤ 3 } \{(a,b)| a+b\le 3\} {(a,b)∣a+b≤3}

Transitive:1,2
Total:1

对所有a,b,c属于A，如果有(a, b) ∈ R，并且(b, c) ∈ R，那么有(a, c) ∈ R
对所有a, b ∈ A 满足 (a, b) ∈ R 或者(b, a) ∈ R.

1.2.6、等价关系与顺序关系(Equivalence relations, order relations

(1)、等价关系的定义(Equivalence relation: definition)

一个等价关系是一个二元关系(binary relation)，这种关系是自反的，传递的和对称的。

举例：

1. 设 R : = { ( a , b ) ∣ a = b   o r   a = − b } R:=\{(a,b)|a=b\ or\ a=-b\} R:={(a,b)∣a=b or a=−b} 为一个在整数上的关系。
   R是一个等价关系吗？
2. 设 L L L 为本班所有学生名字的关系，如果名字x和y有相同数量的字母，且x和y在L中，那么 L L L 为一个等价关系吗？

(2)、等价类、代表的定义(Equivalence classes, representatives: definition)

假设 E E E 为一个在集合 V V V上的等价关系。对于每个 v ∈ V v\in V v∈V 我们假设
[ v ] E : = { v ′ ∈ V ∣ ( v , v ′ ∈ E ) } [v]_E:=\{v^{'}\in V|(v,v^{'}\in E)\} [v]E​:={v′∈V∣(v,v′∈E)}
表示 v v v 相对于 E E E的等价类(即等价类 [ v ] E [v]_E [v]E​由 v v v的所有元素组成，他们根据 E E E与 v v v而等价)。

如果存在一个 W = [ v ] E W=[v]_E W=[v]E​的元素 v ∈ V v\in V v∈V，那么一个集合 W ⊆ V W\subseteq V W⊆V是一个等价类(是 E E E的)

元素 v v v 叫做 等价类 W W W的代表。

例子：
下列等价关系的等价类是什么？

1. 整数上的关系 R : = { ( a , b ) ∣ a = b   o r   a = − b } R:=\{(a,b)|a=b\ or\ a=-b\} R:={(a,b)∣a=b or a=−b}
2. 本班所有学生名字上的关系 L L L ，如果名字x和y有相同数量的字母，且x和y在L中，那么 两个名字x与y属于 R R R.

(3)、顺序关系的定义(Order relations: definition)

设 E E E是集合 V V V上的一个二元关系。
1.如果 E E E是自反的和传递的， E E E是一个前序
2.如果 E E E是自反的、传递的和反对称的， E E E是一个偏序
3.如果 E E E是自反的、传递的、反对称的和全数的， E E E是一个线性序列或者全数序列。

例子：
1. ≤ \le ≤是 N N N(以及 Z Z Z、 Q Q Q 和 R R R)上的一个线性序列。相似的， ≥ \ge ≥是 N N N(以及 Z Z Z、 Q Q Q 和 R R R)上的一个线性序列。
2.对每一个集合 M M M，关系 ⊆ \subseteq ⊆和 ⊇ \supseteq ⊇在幂集 P ( M ) P(M) P(M)(不是线性序列)上是部分序列。
" ⊆ " "\subseteq" "⊆" 和 M = { 1 , 2 } M=\{1, 2\} M={1,2} 的图解：

3.对每一个有限集 M M M， E : = { ( A , B ) ∣ A , B ⊆ M , ∣ A ∣ ≤ ∣ B ∣ } E:=\{(A,B) | A,B\subseteq M, |A|\le |B|\} E:={(A,B)∣A,B⊆M,∣A∣≤∣B∣}是一个在 P ( M ) P(M) P(M)上的前序，但不是一个偏序。
M = 1 , 2 M={1,2} M=1,2的图解：

标签：Mathematical,关系,1.2,...,元素,relations,集合,subseteq
来源： https://blog.csdn.net/weixin_44225602/article/details/121240635

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。