Given an integer n, return the least number of perfect square numbers that sum to n. A perfect square is an integer that is the square of an integer; in other words, it is the product of some integer with itself. For example, 1, 4, 9, and 16 are perfect s
概述 奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，区别于只适用于实对称矩阵的特征分解方法，奇异值分解可对任意实矩阵进行分解。 特征分解 特征分解（eigendecomposition）又叫谱分解（Spectral decomposition），是把一个矩阵根据其特征值和特征向
ZJOI2022 部分题目题解 D1T1 [ZJOI2022] 树 题意 按照如下方式生成两棵树： 第一棵树：节点 \(1\) 作为树的根，\(\forall i\in[2,n]\)，从 \([1,i-1]\) 中选取一个点作为 \(i\) 的父亲。 第二棵树：节点 \(n\) 作为树的根，\(\forall i\in[1,n-1]\)，从 \([i+1,n]\) 中选取一个点作为 \(i\) 的
首先很容易得到\(n\)个点的二叉树个数为\(Catalan(n)\)也就是卡特兰数，设为\(f(n)\)。 它的生成函数\(F\)为\(\sum_{i\geq 0} f(i)x^i\)。 根据递推式\(f(i)=\sum_{j=0}^{i-1} f(j)f(i-1-j)\)。 得到生成函数的方程: \[F=F^2x+1\\ F^2x-F+1=0 \]得到两根： \[F_1=\frac{1+\sqrt{1-4x}
板子题 板子题-UVA11526 题目大意： 给定一个 \(n\)，求 \(\sum\limits_{i-1}^{n}\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\)。其中 \(n\) 为 \(32\) 位无符号整数。 题目解析 显然如果暴力求解肯定是不可行的，显然会 TLE，所以我们需要找一种复杂度更优的算法。 我们可以先令 \(n=10\)，观察一下函数
正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P8292 题目大意 有\(n\)张卡牌，第\(i\)张上的数字是\(s_i\)。\(m\)次询问给出\(c_i\)个质数，要求选择一些卡使得这些卡的乘积是这些质数的倍数，求方案数。 \(1\leq n\leq 10^6,1\leq s_i\leq 2000,1\leq m\leq 1500,\sum_{i=1}^m c_
原题传送门 1. 题目描述 2. Solution 1、思路分析 二分查找，在[0, x]这个区间内执行二分查找，求mid，使得mid * mid = x。 2、代码实现 package Q0099.Q0069sqrtx; /* A Binary Search Solution from wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_square_root */ public
链接：http://poj.org/problem?id=3468 难度不大，注意细节 1 #include<cstdio> //分块，poj3468 2 #include<algorithm> 3 #include<cmath> 4 #define ll long long 5 #define N 100010 6 using namespace std; 7 ll a[N],sum[N],add[N]; 8 int L[N],R[N],d; 9
题面传送门 奇妙的思维(技巧?)题。 发现每个物品有\(i\)个，体积为\(i\)，对于\(i>\sqrt n\)的物品来说，这个个数的限制是相当于没有的。所以相当于完全背包。 前面\(O(\sqrt n)\)个可以暴力多重背包算方案数。 考虑后面\(n\)个最多选择\(O(\sqrt n)\)个。所以可以设\(dp_{i,j}\)表示选
最近听说有了一个有负权图上的 \(O(m\log^8 m \log w)\) 算法, 感觉非常厉害, 于是觉得先来研读一个早些的工作. 如果有可能的话再尝试研读新的算法! 我们知道, OI 中常用的在负权图上的 Bellman–Ford 算法可以在 \(O(nm)\) 时间内计算一个有负权图的单源最短路径, 或者确定这张
约数和质数是我们在认识数学问题中经常遇到的两个概念，所以如何判断他们肯定也是我们需要去考虑！ 首先我们看一些判断质数： 因为我们可以知道质数的概念指的是这个数只能被1和自身整除，所以我们枚举从2~sqrt（x）的范围内的数，是因为如果不是质数的话是一一对应的，如果在2~sqrt（x）这个范围
这个东西不是人想的。 解决问题：积性函数前缀和。 适用条件：可以快速计算 \(f(p)\) 的前缀和，\(f(p^k)\) 可以被表示成若干完全积性函数的线性组合（指对应项可以快速组合出来）。 时空复杂度：就当是 \(O(\dfrac{n^\frac{3}{4}}{\log n}+n^{1-\epsilon})-O(\sqrt n)\)。 以下默认 \(f(p)\)
先一遍 BFS 求出 \(h_i\)。 考虑每个点滑雪的最优路径是什么。是先不重复经过点，滑到一个点 \(x\)，其中点 \(x\) 满足其与一个相同高度的点相连。在 \(x\) 与旁边这个点横跳，直到能量耗尽，最后滑下到底。 假设从点 \(i\) 出发，能找到 \(x\) 的最小高度是 \(f_i\)，那么 \(i\) 的答案应当
尝试用一个极其奇怪的算法草过去 首先知道答案是 \(p^q\) 的形式，我们枚举这个 \(q\)。当 \(q=2\) 时一定能在 ll 范围内搜出解，所以可以知道 \(q\leq 64\)，而且当 \(q\) 过大时可选的值也很少。 考虑 \(q=2\)，是最麻烦的一部分。考虑在 \(\sqrt{n}\) 附近确定一段区间，这段区间中有恰
Using binary search, time complexity: O(log(x)) class Solution { public int mySqrt(int x) { int l=1, r =x; while(l<r-1){ int mid=l+(r-l)/2; int temp = x/mid; if(temp==mid) return m
他说风雨中这点痛算什么，擦干泪不要怕，至少我们还有梦 首先弄明白一件事：区间 ACAM 可以看做是所有串的 ACAM 只保留区间串对节点贡献的信息，仍然可以使用所有串的 ACAM 的转移边。 于是我们可以使用 ACAM 套线段树，每颗线段树维护这个节点会受到区间哪些位置的串的贡献。 但是这这样有
Quadratic Formula: The quadratic equation is as follows: $ax^2+bx+c=0$ The quadratic formula tells us that the solutions to this equation is $x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ So let's apply it to some problem. Let's start off with somethi
E. Arithmetic Operations Tag dp 根号分治 rating2300 题目来源 Codeforces Round #778 (Div. 1 + Div. 2, based on Technocup 2022 Final Round) 题目大意 给定一个数列a，每次操作可以任意变动a的其中一个数，求最少的操作次数将a变成等差数列 解题思路 我们与其去计算最小的变
Spherical harmonics Wiki: Spherical harmonics forms a complete orthogonal functions with each function defined on the sphere. Reference Video Spherical harmonics play important roles in Orbital Angular Momentum in quantum mechanis. We have the following
给定一个整数，写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。 整数 n 是 4 的幂次方需满足：存在整数 x 使得 n == 4x /* 基本分析 一个数 nn 如果是 44 的幂，等价于 nn 为质因数只有 22 的平方数。 因此我们可以将问题其转换：判断 \sqrt{n} n 是否为
题目 输出大于等于n的最小的完全平方数。 若一个数能表示成某个自然数的平方的形式，则称这个数为完全平方数 Tips：注意数据范围 输入 一个整数n L<=R<=100000; 输出 大于等于n的最小的完全平方数 样例输入 71711 样例输出 71824 解题思路 从输入数n开始遍历，直到找到最小完全
设$x_{1},~x_{2},~\ldots,~x_{n}$为非负实数，其中有： 调和平均数$$H_{n} = \frac{n}{\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \cdots + \frac{1}{x_{n}}} = \frac{n}{\sum\limits_{i = 1}^{n}\frac{1}{x_{i}}}$$ 几何平均数$$G_{n} = \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot \c
DOI: 10.1103/PhysRevA.105.023718 Eq.(48): \[\left< \left( n_a-n_b \right) ^2 \right> -\left< \left( n_a-n_b \right) \right> ^2 \\ c\left( |\phi 0\rangle +|0\phi \rangle \right) \\ |\phi \rangle =\sqrt{p_n}|n\rangle \
来自 hzwer 的九道非常经典的分块题。 目前可以在 LOJ 上提交：Here 1. 给出一个长度为 \(n\) 的数列，支持区间加，单点查值。 将序列分成长度为 \(S\) 的 \(\lceil\frac{n}{S}\rceil\) 块。 设我们的操作区间为 \([l,r]\)，称被其完全包含的块为整块，否则为散块。 可以发现整块的数量不
前置知识 之前写的普通莫队笔记，在这里当个前置知识，其实大约知道莫队大概就是把询问离线下来，分块并排序之后用两个指针 \(l,r\) 来更新信息统计答案即可。 有时在区间转移的时候，有些删除或添加的操作无法实现，那么当只有一种操作不能实现的时候，就可以用莫队来解决这个问题，然而普通莫
