Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 u1s1 感觉这个 D1F 比某道 jxd 作业里的 D1F 质量高多了啊，为啥这场的 D 进了 jxd 作业而这道题没进/yun 首先这题肯定有个结论对吧，那么我们就先尝试猜一下什么样的排列符合条件，也就是先考虑这题 \(a_i\) 全是 \(-1\) 的情况怎么做
整除分块 可以用到整除分块的形式，大致是这样的： \[\sum_{i=1}^n \lfloor\frac{n}{i}\rfloor \]这种式子因为特殊的要求，通常是要求 \(O(\sqrt{n})\) 的复杂度去算。 对于每一个 \(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 我们可以通过打表(或理性的证明)可以发现： 有许多 \(\lfloor\frac{n}{i}
题目链接：Here 题意： 给出正整数 \(A,B,N (1\le A\le 1e6,1\le B,N\le1e12)\) ，对于 \(x\in [0,N]\) 求出 \(\left\lfloor\frac{A x}{B}\right\rfloor-A \times\left\lfloor\frac{x}{B}\right\rfloor\) 的最大值 \[QAQ \] 全搜索的话 \(\mathcal{O}(n)\) 的时间复杂度是肯定不行的
刚接触这些东西感觉整个人都不好了 由于涉及大量公式所以将大面积粘贴各种图片，基本来自wiki 两个引理 证明就是利用向下取整把后面的\(r\)搞没了 对于任意\(d\)取便整数集合，\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)最多仅有\(2 \sqrt{n}\)种取值 证明比较直观就不解释了 这个东西主要作
P4767「IOI2000」邮局 显然 DP ，考虑设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(j\) 个村庄放了 \(i\) 个邮局的最小距离，为了方便 DP ，我们钦定这个区间里的村庄都匹配这些邮局。 那么转移式写出来就是 ： \[f_{i,j} = \min_{k=1}^{j-1} \left\{ f_{i,k-1} + w(k+1,j) \right\} \]其中， \(w(l,r)\) 表示
题目大意 给定一个序列\(a_1,a_2,...,a_n\)定义它的一个子序列\(a_{i_j},a_{i_2},...,a_{i_k}(i_1<i_2<...<i_k)\)的美丽值为 \[\sum\limits_{j=1}^k-1{\left\lfloor\dfrac{a_{i_{j+1}}}{a_{i_j}}\right\rfloor} \]求子序列中美丽值最大的 「NOIP2021模拟赛8.18 B」序列（seq） 问题解
求\(\sum\limits_{i=1}^n{k\;mod\;i}\) 显然就是\(nk-\sum\limits_{i=1}^n{i\times\left\lfloor{\dfrac{k}{i}}\right\rfloor}\) 那么问题就在于后面这个\(\sum\)，它是要用整除分块去做，可以在\(O(\sqrt k)\)完成 那么看看这个怎么求就行了：\(\sum\limits_{i=1}^n{\left\lfloor{\dfra
Link. Codeforces Luogu Description. 求满足 \(\sum_{i=0}^{+\infty}a_i2^i=m\) 且 \(\forall i\in\mathbb N,a_i\in[0,8)\) 的 \(\{a_i\}\) 数量。 Solution. 没思路 首先，考虑这个 \(\forall i\in \mathbb N,a_i\in[0,8)\) 的限制。 众所周知， \(8=2^3\)，可以考虑按照 \(8\) 来分
视频链接 热身题 尝试寻找单次变化递推式，设第\(i\)个圆为\(X^2+Y^2=R^2\)，在圆\(i\)内随机选择一点\((x,y)\) \[E(a^2+b^2)->E((a+x)^2+(b+y)^2) \]\[=E(a^2+b^2)+E(x^2+y^2)+2aE(x)+2bE(y) \]\[E(x)=E(y)=0 \]设\(x^2+y^2=r^2\) \[E(x^2+y^2)=\int_{0}^{R}\frac{2\pi r}{\pi R^2}
跟数列的分块思路相似，但是绝对不一样！！！ 〇、题目 给出\(N\),求\(\sum\limits^{N}_{i=1}\lfloor \dfrac{N}{i}\rfloor\) 一、思路 就比如说\(N=20\)的时候，我们发现，这些商下取整后的结果为： i: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 N/i 20 10 6 5 4 3 2 2 2 2 1
题目大意 设 d ( x ) d(x) d(x) 表示 x
在李煜东的书上做题，做到余数之和（https://www.luogu.com.cn/problem/P2261），发现这个是整除分块的模板题。。不是很会，学学。 看完上题，对于这个式子$$ \sum _{i=1}^{n} \lfloor \frac{n}{i} \rfloor $$ 一定不会陌生 这个式子在oi数论中十分常见，莫比乌斯反演等都会用到。求解这个式子
\(\text{Problem}\) \(\text{Analysis}\) 显然 \(f=\mu^2\) 那么 \[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (i+j)^k &= \sum_{d=1}^n \mu^2(d) d^{k+1} \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor} (
计算 \(\gcd(i,j)=k\) 的对数 Problem \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k] \]Solution 设 \(f(k)\) 表示 \(\gcd(i,j)==k\) 的对数（即答案），\(g(k)\) 表示 \(k|\gcd(i,j)\) 的对数 根据 \(g\) 的定义，我们知道：\(g(k)=\lfloor\frac nk\rfloor\lfloor\frac mk\rfloor\)
\(\mathcal{Description}\) Link. \(T\) 组询问，每次给出 \(n,a,b,c,k_1,k_2\)，求 \[\sum_{x=0}^nx^{k_1}\left\lfloor\frac{ax+b}{c}\right\rfloor^{k_2}\bmod(10^9+7) \] \(T=1000\)，\(n,a,b,c\le10^9\)，\(0\le k_1+k_2\le 10\)。 \(\mathcal{Soluti
Solution 以前学过，但是太烂，而且很有局限性，今重学一遍。 考虑假设我们要解决的问题为求： \[\sum_{x=0}^{n} x^{k1}\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfloor^{k2} \]可以发现可以分为几种情况进行讨论： \(a=0\) 或者 \(\lfloor\frac{an+b}{c}\rfloor=0\) 可以发现 \(\lfloor\frac{ax+b}{c}\rfl
题目 题目链接：https://gmoj.net/senior/#main/show/4496 求 \[\sum^{n}_{i=1}\sum_{j|i}\gcd(j,\frac{i}{j}) \]\(n\leq 10^{11}\)。 思路 \[\sum^{n}_{i=1}\sum_{j|i}\gcd(j,\frac{i}{j}) \]\[=\sum^{n}_{i=1}\sum^{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}_{j=1}\gcd(i,j)
题目链接 记\(g(i) = \operatorname{LCM}(1, 2, \dots, i), h(i) = \lfloor \dfrac{n}{g(i)} \rfloor\)。 易得\(f(k) = i\)的\(k\)的个数为\(h(i) - h(i - 1)\)。 然后叠加相消后可得：\(\sum_{i = 1}^n f(i) = i (h(i) - h(i - 1)) = \sum_{i \ge 1}^{g(i) \le n} \lfloor \dfra
A. Odd Set 看奇数和偶数的数的个数想不想等即可。 B. Plus and Multiply 枚举所有 \(a^k\) 然后判断能不能加若干次 \(b\) 的到 \(n\)。 C. Strange Function 令 \(g(i)=\text{lcm}(1,2,\dots,i)\)，不难发现答案为 \(\sum_{}i\times(\lfloor\frac{n}{g(i-1)}\rfloor-\lfloor\frac{
Description There is a complete graph containing \(n\) vertices, the weight of the \(i\)-th vertex is \(w_i\). The length of edge between vertex \(i\) and \(j\) \((i≠j)\) is \(\lfloor \sqrt{|w_i-w_j|}\rfloor\). Calculate the length of the
Label 经典莫比乌斯反演转化 g c d ( i , j )
Label 灵活变换求和次序的普通莫比乌斯反演 Description 给定 T ( T = 1 0
目录 链接描述分析杜教筛迪立克利卷积 g ∗ f g*f
传送门： https://www.luogu.com.cn/problem/P3327 https://www.acwing.com/problem/content/1360/ 莫比乌斯反演 + 整除分块 分析 首先，我们给出一个结论： \[d(ij) = \sum_{x|i} \sum_{y|j} [(x, y) = 1] \]证明： 设 \(i\) 的分解式为 \(i = \prod p_k^{\alpha_k}\) ，类似地，\(j = \prod
嘟嘟嘟 挺好的题 \[\begin{align*} ans &= \sum_{i = 1} ^ {a} \sum_{j = 1} ^ {b} [gcd(i, j) = d] \\ &= \sum_{i = 1} ^ {\lfloor \frac{a}{d} \rfloor} \sum_{j = 1} ^ {\lfloor \frac{b}{d} \rfloor} [gcd(i, j) = 1] \\ \end{align*}\] 令\(n =
