目录1. 前言2. 详解2.1 定义+作用2.2 exgcd 求法2.3 快速幂求法2.4 线性递推式3. 总结 1. 前言 本篇文章是作者学习乘法逆元的时候的一些学习笔记。 前置知识：同余式，一些简单的数论符号。 2. 详解 2.1 定义+作用 乘法逆元的定义如下：对于任意 \(a \in N_+\)，若存在 \(a \in N_+\) 使
引入 BSGS（baby-step giant-step），即大步小步算法，常用于求解离散对数问题。该算法可以在 \(O(\sqrt p)\) 的时间复杂度内求解 \[a^x \equiv b \pmod p \]第一部分：\(a \perp p\) 我们将求解的答案 \(x\) 设为 \(km-c \ (c < m)\) 的形式，即 \[a^{km-c} \equiv b \pmod p \]在 \(a \perp
定义 如果一个线性同余方程 \(ax\equiv 1\pmod b\) ，则称 \(x\) 为 \(a\bmod b\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\) 它等价于 \(ax+by=1\) ，根据线性同余方程有解的条件可得 \(\gcd(a,b)\mid 1\) ，所以当且仅当 \(\gcd(a,b)=1\) 时 \(a\) 在模 \(b\) 意义下存在逆元 计算 快速幂 当 \(b\) 为素
逆元 准确地说，这里讲的是模意义下的乘法逆元。 定义：如果有同余方程 \(ax\equiv 1\pmod p\)，则 \(x\) 称为 \(a\bmod p\) 的逆元，记作 \(a^{-1}\)。 作用是抵消乘法，即 \(x\cdot a\cdot a^{-1}\equiv x\pmod p\) 进一步可以得到 \(\frac xa\equiv x\times a^{-1}\pmod p\)，这也是分数取
欧拉定理与扩展欧拉定理证明 之前一直想填这个坑来着。。 欧拉定理证明 欧拉定理：若 \((a, m) = 1\)，\(a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\). 证明 引理：设 \(r_1,\dots,r_{\phi(m)}\) 为模 \(m\) 的缩系，那么 \(ar_1,\dots,a_{\phi(m)}\) 也是模 \(m\) 的缩系。 证明： 首先，\(\f
前言 如果你正在看这篇博客，我就默认你会算乘法逆元了，如果你还不会，请看我的早期博客：乘法逆元 定义 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？——《孙子算经》 即求满足以下条件的整数：除以3余2，除以5余3，除以7余2。 宋朝数学家秦九韶于 1247 年《数书九章》卷一、
目录0. 前言原根Number Theoretic TransformsInverse Number Theoretic Transforms 0. 前言 我们在学Fast Fourier Transforms的时候就会发现输出栏有res[i]=(unsigned long)(a[i].real()/limit+.5) 这里需要加上\(0.5\)以保证输出精度 输出精度是怎么产生的呢？ 我们用复数运算，这
引理 A： \[\gcd(a,c)=1\implies \gcd(ab,c)=\gcd(b,c) \]证明略。 引理 B： \[\gcd(q^a,q^b-1)=1 \]证明：若 \(\gcd(q^a,q^b-1)\) 中含素因子 \(p\)，则 \(q\equiv 0\pmod{p},q^b-1\equiv -1\pmod{p}\)，然而 \(q^b-1\equiv 0\pmod{p}\)，矛盾，原命题得证。 所以不妨设 \(a<b\)，则： \
Tonelli-Shanks算法_python 该算法应用于求二次剩余 也就是形如 x 2 ≡ n (
注：若无说明，数值范围均为\mathbf{Z}Z的子集 \large\texttt{欧几里得算法}欧几里得算法若a<b,\gcd(b,a\bmod b)=\gcd(b,a)=\gcd(a,b)a<b,gcd(b,amodb)=gcd(b,a)=gcd(a,b) 若a\geqslant b,a=q\times b+r,0\leqslant r<ba⩾b,a=q×b+r,0⩽r<b r=a\bmod br=amodb 对于a,ba,b的任意公约
RSA加密算法是一种非对称加密算法，在公开密钥加密和电子商业中被广泛使用。RSA是由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）在1977年一起提出的 [1] RSA 加密算法的可靠性源自于对于极大的整数做因数分解很难在有限的时间内得到有效
Content 已知有这样的一些数 \(A,B,a,b,g,P\)，其中满足 \(A=g^a\mod P,B=g^b\mod p,K=A^b\mod p=B^a\mod p\)。现给定 \(P,g\)，再给定 \(n\) 组 \(A,B\)，求出每组对应的 \(K\)。 数据范围：\(2\leqslant A,B<P<2^{31},2\leqslant g<20,1\leqslant n\leqslant20\)。 Solution 这道题目乍
求逆元： \[{解 b x \equiv 1\pmod{p}} \]当b和p不互质时，bx一定是p的倍数，模p一定为0（不为1），此方程无解； 当b和p互质，p是质数时，可以由费马小定理得： \[\begin{gather*} b^{p - 1} \equiv 1\pmod {p} \\ 即b \cdot b^{p - 2} \equiv 1\pmod p \\ 故x = b^{p - 2} \end{gather*} \]因此
小知识来啦。 逆元是费马小定理的一个衍生物（算是吧），主要用于模运算中的除法运算。费马小定理是说假如有\(p\in P,lca(a,p)=1(P为质数集合)\)，那么\(a^{p-1}\equiv 1\pmod p\)。换句话说，\(a\times a^{p-2}\equiv 1\pmod p\)。于是我们就会发现\(a^{p-2}\pmod p\)就是逆元。 普通状态
逆元 定义：若 \(ax\equiv 1\pmod b\) 且 \(a\) 与 \(b\) 互质，那么我们就能定义 \(x\) 为 \(a\) 的逆元，记为 \(a^{-1}\) ，所以我们也能称 \(x\) 为 \(a\) 在 \(\pmod b\) 意义下的倒数，此时我们对于 \(\dfrac{a}{b}~\pmod p\)，我们就可以求出 \(b\) 在 \(\pmod p\) 意义下的逆元，来代替
给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\) 和 \(n\) 个非负整数 \(b_i\)，求解关于 \(x\) 的线性同余方程组： \[\begin{cases} x\equiv b_1\pmod {a_1}\\ x\equiv b_2\pmod {a_2}\\ \cdots\\ x\equiv b_3\pmod {a_3}\\ \end{cases} \]其中对于 \(\forall i,j\in[1,n],i\ne j\) 满足 \(
求解模线性方程组 问题描述 给定了 \(n\) 组除数 \(m_i\) 和余数 \(r_i\) ，通过这 \(n\) 组 \((m_i,r_i)\) 求解一个 \(x\) ，使得 \(x \bmod m_i = r_i\) 这就是 模线性方程组 。 数学形式表达就是 ： \(\begin{cases} x \equiv r_1 \pmod {m_1}\\ x \equiv r_2 \pmod {m_2}\\ \vdots
目录0x30 数学知识0x33 同余概念与定理例题The Luckiest Number扩展欧几里得算法$(exgcd)$定理及概念线性同余方程高次同余方程0x34 矩阵乘法0x35 高斯消元与线性空间高斯消元线性空间0x36 组合计数基本概念组合数的求法二项式定理多重集的排列数与组合数Lucas 定理Catalan 数列 0
Problem A. 货币兑换 / \(\mathcal{Money}\) 最贪心的思路显然是每次取当前花费最小的一边，但是暴力做显然会超时。考虑我们这样选造成的后果 —— 两种数字花费的价格一定是差不多的，于是我们可以二分这个“差不多”的价格 \(mid\)，每次尽可能将两种货币能换的都换了，不过需要注
欧拉定理和函数的一些理解 欧拉定理，先放式子： \[a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod{m} \]前提是 \(\gcd(a,m)=1\)。 证明：设 \(r_1,r_2,...r_{\varphi(m)}\) 为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系，那么 \(ar_1,ar_2,...ar_{\varphi(m)}\) 也为 \(\mod m\) 意义下的一个简化剩余系。 所以：
介绍 \(Miller-\ Rabin\) 是一种基于随机的算法，其主要根据两个定理构建而成。 1、费马小定理 若 \(p\) 是质数，且 \(\gcd(a,p)=1\)，则有 \(a^{p−1}≡1 \pmod p\)。 假设现在要判断 \(x\) 是否为质数，那么就可得出，只需任意找一个数 \(a\)，若其不满足 \(a^{x-1} \equiv 1 \pmod x\)，这
就写下中国剩余定理好了，其实包括扩展都可以用屠龙勇士那道题的方法写式子推，\(n\log n\) 就出来了，只是中国剩余定理的做法比较巧，所以写一下。 题目： 给出多个类似 \(x\equiv b_i\pmod {a_i}\) 的式子，保证 \(a\) 之间两两互质，求 \(x\) 做法： 设 \(M=\operatorname{lcm}(a_1,a_2,\cdot
乘法逆元、消去律 1、给出正整数a和m，gcd(a,m)=1，请问，a模m的乘法逆元（在mod m的意义下）是唯一的吗？为什么？请证明。2、设p是素数，计算(p-1)! mod p，并找出规律（可编写一个程序），写成定理，并给出证明。（！表示阶乘）3、思考另一个版本的消去律。设
题目链接 P3811 【模板】乘法逆元 题目描述 给定 \(n,p\)， 求 \(1\sim n\) 中所有整数在模 \(p\) 意义下的乘法逆元。 输入格式 一行两个正整数 \(n,p\)。 输出格式 输出 \(n\) 行，第 \(i\) 行表示 \(i\) 在模 \(p\) 下的乘法逆元。 输入 10 13 输出 1 7 9 10 8 11 2 5 3 4 说明/
bsgs 问题一： 若 ( a , p ) = 1 ,
