杂文：证明卢卡斯定理 符号 \(\binom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)，组合数 定理 众所周知的卢卡斯定理： \[\binom{n}{m}\equiv \binom{n\mod p}{m\mod p}\times \binom{n/p}{m/p} \pmod{p} \]证明 一些很 trival 的引理 \(\binom{p}{i}\equiv 0\pmod{p},0<i<p\) 拆开它，等于：\(\dfrac
费马小定理 \(a^p\equiv a\pmod p\) 在 p 是质数时成立，考虑 rand 一个 a 来判定 但是有一类数，满足费马小定理却又不是质数，如 561 二次探测定理 若 p 是质数且 \(b^2\equiv 1\pmod p,0<x<p\) 原式减一可得\(b^2-1\equiv 0\pmod p\)，平方差\((b+1)(b-1)\equiv 0\pmod p\) 故 p 一定可
Newton's Method 是牛顿提出的一种将非线性方程线性化的近似方法。它也可以运用在多项式中，求关于多项式的非线性方程在模意义下的解。 泰勒级数和麦克劳林级数 泰勒级数用无限项连加式来表示函数。一般地，对于一个光滑函数 \(f(x)\)，有 \[f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\dfrac{
二次剩余解决的是 \(x^2 = n \pmod p\)，求 \(x\) 的解问题，就是在模意义下的开根。 这里介绍 \(p\) 为奇质数的情况。 解的数量 考虑 \(x^2 = n \pmod p\) 如果有两个不同的解 \(x_1\) 和 \(x_2\)。 \[x_1^2 \equiv x_2^2 \pmod p \]\[x_1^2 - x_2^2 \equiv 0 \pmod p \]\[(x_1 - x
多项式不全家桶（持续更新） 里面可能不会很全，因为太难的东西我也不会啊。 多项式求逆 板子题链接 求逆指的是给定一个多项式 \(F(x)\)，你需要求出一个多项式 \(G(x)\)，使其满足 \(F(x) * G(x)\equiv1\pmod {x^n}\) 考虑为什么要在 \(\pmod {x^n}\) 情况下来求解，其实多项式可以近似理解
补码的本质 在很多课堂上，老师都讲过补码的概念。可是不管怎么讲，最后留在头脑中的只有一些例如“补码的符号位可以直接参与运算”之类的方法，还有一条公式： \[补码=反码+1 \]这些方法和公式似乎成了考试解题的金科玉律。然而，今天早上突然想知道，补码到底是什么，为什么有上面那些公式和
目录 密码学编程应用欧几里得算法扩展欧几里得算法穷举素性检测&埃拉托色尼筛Miller_Rabin素性检测 P o l
目录多项式与生成函数学习笔记多项式求导泰勒展开牛顿迭代多项式求逆多项式除法多项式 ln多项式 exp多项式快速幂多项式多点求值多项式多点插值生成函数形式幂级数形式幂级数的运算普通型生成函数指数型生成函数题目洛谷P5860 「SWTR-03」Counting Trees题意简述题目分析参考代码C
我们需要求出一个不定方程的一个解： \(\begin{cases}x&\equiv a_1\pmod {n_1}\\x&\equiv a_2 \pmod{n_2}\\ &\vdots\\x&\equiv a_k\pmod{n_k}\\\end{cases}\) 其中x为我们需要求解的 第一个不定方程通解为 \(x = a_1 + tn_1\) 我们设前 \(i-1\) 个不定方程的通解为 \(x+t \text{lcm
看 \(\text{yyb}\) 的博客看到的，发现似乎并没有想象中的那么难，就学了一下，过了板题，这里记录一下，暂时还是只会二次剩余， \(n\) 次剩余暂时先放一下。 模数为奇素数 下文的 \(p\) 即是模数。 我们称 \(n\) 为模 \(p\) 意义下的二次剩余当且仅当存在 \(x\) 使得 \(x^2\equiv n\pmod p,x
#include"标头.h" #define POINTER ULONG #define PEB_OFFSET_IN_EPROCESS 0x3f8 #define LDR_OFFSET_IN_PEB 0x18 #define InLoadOrderModuleList_OFFSET 0x010 typedef struct _LDR_DATA_TABLE_ENTRY { LIST_ENTRY64 InLoadOrderLinks; LIST_ENTRY64
数论杀我如果有错欢迎指出qwq 中国剩余定理（CRT） 现在我们考虑一个问题，如何求解： \[\begin{cases} x\equiv x_1\pmod{p_1}\\ x\equiv x_2\pmod{p_2}\\ ...\\ x\equiv x_n\pmod{p_n} \end{cases} \]其中，\(p_1,p_2...p_n\)互质。看着就一脸懵逼，所以我们引入中国剩余定理（CRT）解决这个问题
更多代码请移步一些模板。 多项式乘法 FFT/NTT，详见别人的博客。由于有些复杂，作者懒得写了。而且写了也对作者没什么意义。 多项式求逆 对多项式\(f(x)\) 求多项式 \(g(x)\) 使得 \(f(x)\cdot g(x)\equiv 1\pmod {x^n}\) 这里的\(\pmod {x^n}\) 的意义其实就是“\(x\) 的次数最低的
数论知识小结 (latest updated on 2020.06.11) 符号\((a,b)=\gcd(a,b)\) 乘除\(a|b\rightarrow b=ka (k\in \Z)\) 任意\(\forall\)，存在\(\exists\) 调和级数 \(\sum_1^n\frac{n}{i}\approx n\ln n\) 近似看成是\(f(x)=\frac{n}{x}\)在\([1,n]\)上的积分，它的原函数\(F(x)=n\ln x\
二次剩余(懒人模板总结) 只考虑奇质数的情况 设求\(\sqrt a \pmod P\) Part1 判断 存在二次剩余即\(a^{\frac{(P-1)}{2}}=1 \pmod P\) (对于所有\(a=0,1\)的情况需要特判) Part2 原根法求二次剩余 先求出\(P\)的一个原根\(g\) 那么可以用\(g^k\)表示出\([1,P-1]\)的所有数 用\(BS
问题：给定正整数\(m_1, m_2, ... , m_n\) 和 \(a_1, a_2, ... , a_n\) 求关于 x 的同余方程组的一个解： \[\left\{ \begin{aligned} x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2}\\ \vdots \qquad \qquad \quad \quad \\ x \equiv a_n \pmod {m_n} \end{a
BSGS \(\text{BSGS}\)（\(\text{Baby Step Giant Step}\)）是用来解决\(a^x \equiv b \pmod p\)的问题。 (a,p)=1 令\(m=\lceil \sqrt{p} \rceil\)，则\(x\)可以表示成\(mq+r\)，其中\(0 \leq q \leq m\)，\(0 \leq r < m\)。 那么\(a^x\equiv b \pmod p\)可以写成\
引入问题 : 给定一个奇素数 \(p\)，求 \(p\) 最小的原根 \(g\)。 对于一个质数，它的原根 \(g\) 需要满足什么条件？ 对于 \(k \in [1, p - 1]\)，\(g^k\) 完美遍历了 \([1, p - 1]\) 的所有数。（\(g_k\) 两两不相等） 如何快速判断一个数 \(x\) 是否是原根呢？ 根据费马小定理可得 \(x^{p - 1}
问题 洛谷 题目地址 给你正整数 \(n,m,p\)，其中 \(p\) 是质数。求 \(\dbinom{n}{m} \% p\)（\(\dbinom{n}{m}\) 是组合数，表示 \(n\) 选出 \(m\)）。 Lucas定理结论 若 \(p\) 是质数，则对于任意整数 \(1 \le m \le n\)，有： \[\dbinom{n}{m} \equiv \dbinom{n\%p}{m\%p} * \dbinom{n/p}{m/p
目录 前置知识 趋近 自然常数 对数 逆元 导函数 牛顿迭代与泰勒公式 不定积分与定积分 各种基本操作 多项式乘法 多项式求逆元 多项式除法/取模 多项式牛顿迭代法 多项式开根（限制常数版） 多项式的自然对数 ln （限制常数版） 多项式 exp （限制常数版） 多项式 k 次幂 结语及完整封装
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？ 上述问题便是一个具体线性同余方程组。所谓线性同余方程组，就是形如： \[ \left\{\begin{array}{c} {x \equiv a_{1}\pmod {m_{1}}} \\ {x \equiv a_{2}\pmod {m_{2}}} \\ {\vdots} \\ {x \eq
欧拉定理 若 \(gcd(a,m)=1\),则 \[a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m\] \(\phi(m),m>1\)表示\(\le m\)的数中与\(m\)互质的正整数的个数 证明 设与\(m\)互质的数为\(b_1,b_2,...,b_{\phi(m)}\) \(\because gcd(a,m)=1\) \(\therefore ab_1,ab_2,...,ab_{\phi(m)}\)都与\(m\)互质，且均不
同余3：解高次同余方程的BSGS算法及其扩展学习笔记阶原根指标离散对数BSGS算法扩展BSGS算法解决第二个公式的方法（待填） 前言：在前两篇博客，我提到了解决单个线性同余方程的方法，以及解决线性同余方程组的方法，但是，当单个同余方程变成Ax≡B(modP)A^x \equiv B \pmod PAx≡B(modP)或
扩展中国剩余定理 (ExCRT) 学习笔记 预姿势： 扩展中国剩余定理和中国剩余定理半毛钱关系都没有 问题： 求解线性同余方程组： \[f(n)=\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1}\\ x\equiv a_2\pmod {m_2}\\ ... ...\\ x\equiv a_n\pmod {m_n}\\ \end{cases}\] 的解\(x\)。 \(m\)两两之间不
欧拉定理 若\(\gcd(a,m)=1\)，则满足\(a^{\varphi (m)} \equiv 1 \pmod m\) 证明 设\([1,m)\)内与\(m\)互质的数为数列\(\{b_n\}=\{b_1,b_2,b_3,\cdots,b_{\varphi (m)}\}\) 因为\(a,m\)互质且\(b_i,m\)互质，所以数列\(\{A_n\}=\{ab_1,ab_2,ab_3,\cdots,ab_{\varphi(m)}\}\)中每
