标签：std 26 gcd int 基础 算法 应用 using 密码学
单表代换密码 (上)
单表代还密码是一种很常见也很简单的密码, 著名的凯撒密码就是其中之一
恺撒密码
恺撒密码 : 实质上可以看成是一种哈希算法, 将字母进行移位来进行加密.
恺撒密码的数学表示 :
\[c\ =\ E_3(m)\ ≡\ m\ +\ 3\ (mod\ 26),\ 0\ ≤\ m\ ≤\ 26 \]解密算法 :
\[m\ =\ D_3(c)\ ≡\ c\ -\ 3\ (mod\ 26),\ 0\ ≤\ m\ ≤\ 26 \]
其中 3 是密钥, m 是明文, c 是加密后的密文, E是加密, D是解密. 下面用 C++ 来进行描述
加密
#include <iostream>
#include <string>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
using std::string;
string words("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"); /*列出26个字母*/
void Ceasar(string m)
{
for (int i = 0; i < m.size(); i++) /*从字符串的第一个字母开始遍历更换*/
{
int temp = m[i] - 'a'; /*将字母改成数组的索引值*/
m[i] = words[(temp + 3) % 26]; /*恺撒加密算法*/
}
cout << m << endl;
}
int main(void)
{
string m;
cin >> m;
Ceasar(m);
return 0;
}
解密
#include <iostream>
#include <string>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
using std::string;
string words("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz"); /*列出26个字母*/
void Ceasar(string m)
{
for (int i = 0; i < m.size(); i++) /*从字符串的第一个字母开始遍历更换*/
{
int temp = m[i] - 'a'; /*将字母改成数组的索引值*/
m[i] = words[(temp - 3) % 26]; /*恺撒加密算法*/
}
cout << m << endl;
}
int main(void)
{
string m;
cin >> m;
Ceasar(m);
return 0;
}
仿射变换
上述的恺撒密码是移位变换, 一般形式为
\[c\ =\ E_k(m)\ ≡\ m\ +\ k\ (mod\ 26),\ 0\ ≤\ m\ ,\ k\ ≤\ 25 \]\[m\ =\ D_k(c)\ ≡\ c\ -\ k\ (mod\ 26),\ 0\ ≤\ c\ ,\ k\ ≤\ 25 \]仿射变换的一般形式是
\[c\ =\ E_{a,b}(m)\ ≡\ am\ +\ b\ (mod\ 26) \]\[m\ =\ D_{a,b}(C)\ ≡\ a^{-1}(m-b)\ (mod\ 26) \]
仿射变换中的 a, b 是密钥. 为满足 \(0 ≤ a\), \(b<=26\) 和 \(gcd(a,\ 26)=1\) 的整数. ( 这意味着如果要使用仿射变换密码的话, a 与 26必须互素. )
这个密码的破解关键点在于求 a 的逆元, 求逆元有两种方法 :
- 暴力枚举
- 广义欧几里得算法
暴力枚举很简单, 但是如果数字较大的情况下会比较麻烦. 这里介绍一种在大数求值时相对简便的广义欧几里得算法
广义欧几里得算法
在介绍广义欧几里得之前, 我们先来看看高中数学课上讲的欧几里得算法 (即辗转相除法)
欧几里得算法的思想就是 : 用一个数除以另外一个数, 如果没有余数则除数为这两个数的最大公约数, 否则的话就用除数和余数继续相除, 直到没有余数为止. 下面是 C++ 算法描述
#include <iostream>
#include <algorithm>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
int gcd(int a, int b)
{
if (b == 0)
return a; /*如果余数为0, 则除数为最大公约数*/
else
return gcd(b, a % b);
}
int main(void)
{
int a, b;
cin >> a >> b;
cout << gcd(a, b) << endl;
return 0;
}
这是最简单的欧几里得算法, 一般情况下已知 a, b 的值就可以直接求出. 而广义欧几里得算法则是逆向相求, 通过结果去反推出 x, y.
它的一般形式是 :
\[ax\ +\ by\ =\ gcd(a,\ b) \]
从这个公式上看, 大概可以看做是如果在原 \(a\ +\ b\ =\ gcd(a,\ b)\) 的前提下, 为 a 和 b 分别乘 x 和 y 原式依然成立. 我们通过上面的算法可以看出, 算法结束时 a 的值即为最大公约数 gcd, 而 b 的值则为 0. 那么显然 x = 1, y = 0.
在计算 \(gcd (a, b)\)时, 有 \(a_{x1}+b_{y1}=gcd\) 成立, 在下一步计算时, \(a\ =\ b,\ b\ =\ a\ \%\ b\). 那么就有 \(b_{x2}\ +\ (a\ \%\ b)\ y_{y2}\ =\ gcd\) 成立, 因此 \(ax_{x1}\ +\ b_{y1}\ =\ b_{x2}\ +\ (a\ \%\ b)\ y_2\) 成立. 而 \(a\ \%\ b\ =\ a\ -\ (a\ /\ b)\ ×\ b\) 成立 ( 注意这里的\(a/b\) 不能被约分. ) 则代换一下就是 \(a_{x1}\ +\ b{y1}\ =\ a_{y2}\ +\ b(x_2\ -\ (a\ /\ b)y_2)\) . 根据对应项系数相等原则, 我们可以得到下面这个公式
\[\begin{cases} x_1\ =\ y_2\\ y_1\ =\ x_2\ -\ (a\ /\ b)\ y_2 \end{cases} \]
这样就可以通过 \(x_2\ 和\ y_2\) 求出 \(x_1\ 和\ x_2\)了, 只需反复的递推即可. C++算法描述如下
#include <iostream>
#include <algorithm>
using std::cin;
using std::cout;
using std::endl;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if (b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int g = exgcd(b, a % b, x, y); /*求出 a 和 b 的最大公约数 gcd */
int temp = x; /*临时存放 x, 下面就是对公式的运用*/
x = y;
y = temp - (a / b) * y;
return g;
}
int main(void)
{
int a, b, x, y;
int gcd;
cin >> a >> b >> x >> y;
gcd = exgcd(a, b, x, y);
cout << gcd << endl;
cout << x << ' ' << y << endl;
return 0;
}
我们用这个算法求一下 \(47x\ +\ 30y\ =\ 1\) 中的 x 和 y. 将 47, 30, 1, 0 带入后的结果为 -7 和 11. 结果正确
这里注意一点的是, if 中的判断条件是 b == 0. 原因是因为不管欧几里得算法怎么执行, 到最后一步 b 永远为 0.
而这只是一个解, 如果想得到所有解的话该怎么办呢 ? 我们可以设其中一组解为 \(x_0\ +\ s_1\), \(y_0\ -\ s_2\). ( 关于为什么 \(y_0\ -\ s_2\). 因为欧几里得算法需要被除数大于除数才能进行, 如果被除数小于除数则会通过计算转换过来. 同时也是为了方便) 可得到
\(a\ ×\ (x_0\ +\ s_1) + b\ (y_0\ -\ s_2)\ =\ gcd\).
然后将 \(ax_0\ +\ by_0\ =\ gcd\) 带入可得到 \(as_1\ =\ bs_2\), 整理后可得 \(\frac{s_1}{s_2}\ =\ \frac{b}{a}\). 为了让 \(s_1\) 和 \(s_2\) 更贴近 \(ax_0\ +\ by_0\ =\ gcd\), 我们需要让 \(s_1\) 和 \(s_2\) 越小越好, 同时也必须是整数, 那么可以尝试让它们同时去除以较大的数去满足这个条件. 很明显 gcd 最符合条件. 因此\(\frac{s_1}{s_2} = \frac{b}{a} = \frac{b/gcd}{a/gcd}\).
由此, 我们就能总结出下面这个公式 :
\[\begin{cases} x'\ =\ x\ +\ \frac{b}{gcd}\ ×\ K\\ y'\ =\ y\ -\ \frac{a}{gcd}\ ×\ K\\ K \in Z \end{cases} \]
在了解完广义欧几里得算法后, 我们就可以去求解逆元了
逆元的求解
逆元的一般形式为 \(aa^{-1}\ ≡\ 1\ (mod\ m)\). 其中要求 a 与 m 互素. 而且 \(m整除aa^{-1}-1\) (即\((aa^{-1}-1)\ \%\ m\ ==\ 0\)).
我们来看一道题 : 求解 \(5x ≡ 1(mod\ 3)\)
由于 5 与 3互素, 因此根据广义欧几里得算法可以得到 \(ax+by=1\), 在这里 a = 5, b = 3.
于是就有 \(5x+3y=1\), 根据公式
\[\begin{cases} x_1\ =\ y_2\\ y_1\ =\ x_2\ -\ (a\ /\ b)\ y_2 \end{cases} \]先经过欧几里得算法得到 5 和 3 计算的步骤数. 然后再套用公式逆向求出, 直到逆向所用的步数与欧几里得算法所用的步数相等时, 即可求出逆元. 这里逆元 \(x_1=-1\), \(x_2=2\)
**注意这里不能直接将最开始的 x = 1 和 y = 0 代入公式 : **
\[\begin{cases} x'\ =\ x\ +\ \frac{b}{gcd}\ ×\ K\\ y'\ =\ y\ -\ \frac{a}{gcd}\ ×\ K \end{cases} \]如果这样代入就认为 x = 1 与 y = 0 是 \(5x+3y=1\)的一组解, 但很明显并不是.
公式总结 :
恺撒密码
加密 :
\[c\ =\ E_3(m)\ ≡\ m\ +\ 3\ (mod\ 26),\ 0\ ≤\ m\ ≤\ 26 \]解密 :
\[m\ =\ D_3(c)\ ≡\ c\ -\ 3\ (mod\ 26),\ 0\ ≤\ m\ ≤\ 26 \]
仿射变换密码
加密 :
\[c\ =\ E_k(m)\ ≡\ m\ +\ k\ (mod\ 26),\ 0\ ≤\ m\ ,\ k\ ≤\ 25 \]解密 :
\[m\ =\ D_3(c)\ ≡\ c\ -\ 3\ (mod\ 26),\ 0\ ≤\ m\ ≤\ 26 \]
广义欧几里得算法
一般形式 :
\[ax\ +\ by\ =\ gcd(a,\ b) \]求单个解 :
\[\begin{cases} x_1\ =\ y_2\\ y_1\ =\ x_2\ -\ (a\ /\ b)\ y_2 \end{cases}\]求所有解 :
\[\begin{cases} x'\ =\ x\ +\ \frac{b}{gcd}\ ×\ K\\\ y'\ =\ y\ -\ \frac{a}{gcd}\ ×\ K\\K \in Z\end{cases}\]
参考 :
《算法笔记》—— 胡凡，曾磊
百度百科 —— 扩展欧几里得算法
标签：std,26,gcd,int,基础,算法,应用,using,密码学 来源： https://www.cnblogs.com/ICeVe/p/14489310.html
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