标签：lfloor right frac P3312 rfloor 数表 sigma sum

P3312 数表

题意

求出

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(\gcd(i,j))[\sigma(\gcd(i,j))⩽a] \]

其中 \(\sigma\) 表示约数和。

思路/推导

考虑没有 \(a\) 的限制的情况。

\[ans=\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\ =\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}\sum_{p\mid i\and p\mid j}\mu(p)\\ =\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac{\min(n,m)}{d}\right\rfloor}\mu(p)\left\lfloor\frac{n}{dp}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{dp}\right\rfloor\\ =\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\sum_{d=1}^T\sigma(d)\mu(\frac Td)\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor \]

考虑加入 \(a\) 的限制。将询问按照 \(a\) 大小离线，然后用一个树状数组维护 \(\sum_d\sigma(d)\mu(\frac Td)\) 的前缀和即可。

具体是将线性筛出的所有数的约数和从小到大进行排序，在从小到大查询的时候进行更新。

不会筛 \(\sigma\) 的可以看我的另一篇博客

时间复杂度瓶颈在于查询，需要用到数论分块，为 \(O(q\sqrt n\log n)\)。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<utility>
using namespace std;
inline int read(){
	int w=0,x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c))w|=c=='-',c=getchar();
	while(isdigit(c))x=x*10+(c^48),c=getchar();
	return w?-x:x;
}
namespace star
{
	const int maxn=1e5+10,maxm=2e4+10,N=1e5;
	int n,p[maxn/10],mu[maxn],tot,c[maxn],ans[maxm],g[maxn];
	pair<int,int> f[maxn];
	bool mark[maxn];
	inline void insert(int x,int k){for(;x<=N;x+=x&-x) c[x]+=k;}
	inline int query(int x){int ans=0;for(;x;x-=x&-x) ans+=c[x];return ans;}
	struct Query{
		int n,m,a,id;
		inline bool operator < (const Query& zp) const {return a<zp.a;}
		inline int solve(){
			if(n>m) swap(n,m);
			int ans=0;
			for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
				r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=((query(r)-query(l-1))*(n/l)*(m/l));
			return ans;
		}
	}q[maxm];
	inline void work(){
		mu[1]=1;
		f[1]=make_pair(1,1);
		for(int i=2;i<=N;i++){
			if(!mark[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1,g[i]=i+1,f[i]=make_pair(i+1,i);
			for(int j=1,tmp;j<=tot and (tmp=i*p[j])<=N;j++){
				mark[tmp]=true;
				if(i%p[j]==0){
					mu[tmp]=0;
					g[tmp]=g[i]*p[j]+1;
					f[tmp]=make_pair(f[i].first/g[i]*g[tmp],tmp);
					break;
				}
				mu[tmp]=-mu[i];
				g[tmp]=p[j]+1;
				f[tmp]=make_pair(f[i].first*f[p[j]].first,tmp);
			}
		}
		sort(f+1,f+1+N);
		n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) q[i].n=read(),q[i].m=read(),q[i].a=read(),q[i].id=i;
		sort(q+1,q+1+n);
		for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
			while(f[j].first<=q[i].a and j<=N){
				for(int k=f[j].second;k<=N;k+=f[j].second) insert(k,f[j].first*mu[k/f[j].second]);
				j++;
			}
			ans[q[i].id]=q[i].solve();
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",ans[i]&(~(1<<31)));
	}
}
signed main(){
	star::work();
	return 0;
}

标签：lfloor,right,frac,P3312,rfloor,数表,sigma,sum
来源： https://www.cnblogs.com/BrotherHood/p/14360173.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。