标签：特征向量 矩阵 正交 之二 分解 vec Lambda 方阵 lambda
机器学习数学基础之二方阵的特征分解
方阵的特征分解
特征分解的内容在《线性代数》这门课程里边讲过，现在算是对相关内容做一下简单回顾。
【特征值&特征向量】：对于方阵 A A A，若存在一个数 λ \lambda λ 和一个向量 v ⃗ \vec{v} v 使得 A v ⃗ = λ v ⃗ A\vec{v}=\lambda\vec{v} Av =λv 成立，那么我们称 λ \lambda λ 为矩阵 A A A 的特征值， 向量 v ⃗ \vec{v} v 称为矩阵 A A A 的特征向量。
【特征向量的求解】：关于如何求解特征向量和对应的特征值，在《线性代数》这门课程里边详细讲过，在此不再赘述。
【特征分解】：对于n阶方阵
A
A
A ,其所有的特征向量组成的特征矩阵记作
V
=
(
v
1
⃗
v
2
⃗
.
.
.
v
n
⃗
)
,
v
i
∈
R
n
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
V=\begin{pmatrix}\vec{v_1}&\vec{v_2}&.&.&.&\vec{v_n}\end{pmatrix},v_i\in{R^n},i=1,2,...,n
V=(v1
v2
...vn
),vi∈Rn,i=1,2,...,n。对应的特征值组成的对角矩阵
Λ
=
(
λ
1
0
0
.
.
0
0
λ
2
0
.
.
0
0
0
λ
3
.
.
0
.
.
.
.
0
0
0
.
.
λ
n
)
=
d
i
a
g
(
λ
i
)
,
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
n
\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&0&.&.&0\\0&\lambda_2&0&.&.&0\\0&0&\lambda_3&.&.&0\\.&&&&&.\\.&&&&&.\\0&0&0&.&.&\lambda_n\end{pmatrix}=diag(\lambda_i),i=1,2,...,n
Λ=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛λ100..00λ20000λ30........000..λn⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞=diag(λi),i=1,2,...,n
则 A V = V Λ ⇒ A = V Λ V − 1 AV=V\Lambda \Rightarrow A=V\Lambda V^{-1} AV=VΛ⇒A=VΛV−1
若 A A A 为实对称矩阵，则一定存在一个正交矩阵 Q Q Q 使得 A = Q Λ Q − 1 = Q Λ Q T A=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^T A=QΛQ−1=QΛQT
【注】：1）关于特征矩阵的正交化（施密特正交化）在线代中详细讲过，此处不再赘述；
\quad \quad \quad
2）关于正交矩阵的定义：若n阶方阵
A
A
A 满足
A
A
T
=
A
T
A
=
E
AA^T=A^TA=E
AAT=ATA=E，则
A
A
A 为正交矩阵。
特征分解的几何意义
对于 A v ⃗ = λ v ⃗ A\vec{v}=\lambda\vec{v} Av =λv ,我们可以看做向量 v ⃗ \vec{v} v 在变换矩阵 A A A 的作用下沿其本来的方向扩展了 λ \lambda λ 倍。又因为 A ( s v ⃗ ) = s λ v ⃗ A(s\vec{v})=s\lambda\vec{v} A(sv )=sλv ，所以我们只关注 v ⃗ \vec{v} v 的方向，所以令 v ⃗ \vec{v} v 为单位向量。那么我们以二维空间为例来看一下特征分解的几何意义。
v
1
⃗
,
v
2
⃗
\vec{v_1},\vec{v_2}
v1
,v2
为正交的单位向量，则矩阵
A
A
A 代表着将
v
1
⃗
,
v
2
⃗
\vec{v_1},\vec{v_2}
v1
,v2
变换为
λ
1
v
1
,
λ
2
v
2
\lambda_1{v_1},\lambda_2{v_2}
λ1v1,λ2v2 的变换矩阵。
标签：特征向量,矩阵,正交,之二,分解,vec,Lambda,方阵,lambda 来源： https://blog.csdn.net/qq_41821224/article/details/112980239
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