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GAMES101系列笔记一图形学概述与线性代数入门

2020-11-11 21:04:17 阅读：434 来源： 互联网

标签：begin end cdot 图形学 times 线性代数 pmatrix vec GAMES101

概述+线性代数

为什么学习图形学？

Computer Graphics is AWESOME!

主要涉及内容：

光栅化
曲线和网格
光线追踪
动画与模拟

Differences between CG and CV:

线性代数回顾

向量（Vectors）

方向和长度

模长：$||\vec{a}||$
没有确定的起点
单位向量：模长为1

单位化向量： $\hat{a} = \vec{a}/||\vec{a}||$
向量求和：
列向量，转置，模长的计算方式

$\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \quad \boldsymbol{A}^T = \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \quad ||\boldsymbol{A}|| = \sqrt{x^2+y^2}$
点乘（Dot/scalar Product）

点乘定义：

$\vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}||\,||\vec{b}||cos\theta$

$cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{||\vec{a}\||\,||\vec{b}||}$
For unit vectors:

$cos\theta = \hat{a}\cdot\hat{b}$
交换律、结合律、数乘

直角坐标系下,计算更为方便：

2D:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\y_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_b \\y_b\end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b.$
3D:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}x_a \\y_a\\z_a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x_b \\y_b\\z_b\end{pmatrix} = x_ax_b+y_ay_b+z_az_b.$
投影:

$\vec{b}_\perp:\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影;

$\vec{b}_\perp = k\hat{a};$ 

$k = ||\vec{b}_\perp|| = ||\vec{b}||cos\theta$

点乘可以告诉我们前和后的关系

叉乘（Cross\Vector product）
- 两个向量相乘，得到一个与这两个向量都相等的向量；
  
  $\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}$
  
  $\vec{a}\times\vec{a} = \vec{0}$
  
  $||\vec{a}\times\vec{b}|| = ||\vec{a}||\,||\vec{b}||sin\phi$
  
  方向由右手螺旋定则确定
- 笛卡尔坐标系下的计算方法：
  
  $\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix} = A*b = \begin{pmatrix}0 & -z_a& y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix}$
  
  $A$ 为 $\vec{a}$ 的对偶矩阵。
- 叉乘在图形学中的作用
  
  判定左和右（一次叉乘），判断内和外（三次叉乘）
正交系
- 三个单位向量
  
  $ ||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| = ||\vec{w}|| = 1$
- 两两垂直
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w}$
- 右手系
  
  $\vec{w} = \vec{u}\times\vec{v}$
- 任何一个向量可以由这三个向量表示
  
  $\vec{p} = (\vec{p}\cdot\vec{u})\vec{u} + (\vec{p}\cdot\vec{v})\vec{v} + (\vec{p}\cdot\vec{w})\vec{w}$
  
  因为$\vec{u}\ \vec{v}\ \vec{w}$ 都是单位向量，所以可以用 $\vec{p}$ 在其上的投影乘以其本身来得到一个维度的分量。
矩阵（Matrices）
- 矩阵乘矩阵
  
  维度需满足：
  
  $(M\times N)(N\times P) = (M\times P)$
  
  （3 2）（2 4）= （3 4）
- 不符合交换律。但符合结合律和分配律。
  
  $(AB)C = A(BC)$
  
  $A(B+C) = AB + AC$
  
  $(A+B)C = AC + BC$
- 矩阵向量乘
  
  按 $y$ 轴镜像
  
  $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x \\ y\end{pmatrix}$
- 矩阵的转置
  
  $(AB)^T = B^TA^T$
- 单位矩阵
  
  $I_{3\times3} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
  
  $AA^{-1} = A^{-1}A = I;\quad (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
- 向量乘法的矩阵形式
  
  $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{a}^T\vec{b}$
  
  $\vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}y_az_b-y_bz_a \\ z_ax_b - x_az_b \\ x_ay_b-y_ax_b\end{pmatrix} = A^*b = \begin{pmatrix}0 & -z_a& y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0\end{pmatrix}$

标签：begin,end,cdot,图形学,times,线性代数,pmatrix,vec,GAMES101
来源： https://www.cnblogs.com/jinjin-2018/p/13960895.html

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