标签：总结 ... xor 博弈论 偶数 异或 SG mex
博弈论总结
本总结最多只有提高+/省选-的水平。
博弈论大概就是指两人取石子或者下棋，求先手或者后手必胜的游戏，往往有多组数据，主人公经常是Alice和Bob。
这类游戏有一个学名叫做公平组合游戏(ICG)。定义就是两人轮流操作一个局面，直至不能操作而判负的游戏。
1. 手推博弈论
简单的博弈论往往可以通过找规律就得出答案。
P3150 pb的游戏
结论1：最终局面为一个数1，是奇数，为必败情况。
结论2：奇数只能选择拆分成奇数+偶数，但偶数既可以选择拆为奇数也可以选择拆为偶数。
如果所以如果先手拿到偶数，就把他分割为两个奇数，后手只能将奇数分为一奇一偶，先手又可以取出偶数分割，最后的1一定会留给后手，所以先手必胜，反则先手必败。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,N;
int main()
{
cin >> T;
while (T--)
{
cin >> N;
cout << (N&1 ? "zs wins" : "pb wins") << endl;
}
}P4136 谁能赢呢？
如果双方不会走到到死胡同里，那显然每个格子都会被经过，一共有\(N^2\)个格子，与\(N\)的奇偶性相同。
显然偶数格时先手会刚好走掉最后一个格子，所以N为偶数即先手必胜，否则后手必胜。
而双方如果遇到自己必胜的局面，是一定会阻止死胡同形成的。如图，不可能形成死胡同。
稍微复杂些的博弈游戏就需要用到一些贪心或者数学知识了。
P1199 三国游戏
这道题稍微接近贪心。
对于每一个武将，他所能达到的最大值是一定取不到的。所以只能将每个武将能达到的次大值取到。
找到最大的"每行次大值"，选取该值对应的一个武将，电脑会选择该武将默契值最高的武将，接下来就能将次大值取到。
接下来就要防止电脑取到更大的值，每次如果电脑选了每行最大值的一路，把另一路拿下就可以了，每行最大值一定是一人一半。计算机不可能取得胜利。
P1290 欧几里德的游戏
本题特点在于操作后的数是固定的，但是可以一次进行多次辗转相减。
1:25 7
2:18 7
3:11 7
4:7 4
5:4 3
6:1 3
7:1 0如果每次只能进行一次操作，那么根据一共能进行的操作次数就能判断胜负。
但是先手能掌控步骤1~4的顺序，相当于可以把4: 7 4的局面选择留给自己或者后手，两种局面一定有一个必胜局面。
所以，只要出现能够多次辗转相减的情况，即a >= 2b，当前操作者就是必胜的。
#include <bits/stdc++.h>
#define long long long
using namespace std;
int T,k,f;
long N,M;
void work(const long x,const long y)
{
k++;
if (x%y==0) return;
if (x/y > 1)
{
f = 1;
return;
}
work(y,x%y);
}
int main()
{
scanf("%d",&T); while (T--)
{
scanf("%lld%lld",&N,&M); k = f = 0;
if (N < M) N ^= M ^= N ^= M;
work(N,M);
puts(k&1 ? "Stan wins" : "Ollie wins");
}
}其他练习题：
2. SG函数
SG函数是专门为博弈论设计的一种函数。
设x是一种局面，SG(x)就可以表示当面局面的SG值。
这里讲一讲自然数集合的mex运算。mex(S) = 不属于S的最小自然数。
比如\(mex({0,2,3}) = 1, mex({1,4} = 0)\)
mex的意义就好比lowbit对于树状数组的意义一样。
一个局面的SG值就是它能达到的所有局面的SG值集合的mex运算。
即\(SG(x) = mex({SG(y_1,y_2,...y_i)})\)，终止输局的SG值为0.
显然若子局面全为必胜(SG>0)，则当前必败(正整数集合的mex值为0)。
若子局面有一个必败(SG = 0)，则当前必胜(含有0的集合mex值大于0)。
所以SG值为0，则当前必败，大于0则当前必胜。
需要注意的是，稍有难度的博弈题，都会面临极多的状态。不可能直接用SG函数求解。
SG函数本身只能用于小数据是暴力，辅助找规律。
3. NIM博弈
现有N堆石子，第i堆有\(a_i\)个，每次可从任意一堆里取任意多个石子，取走最后一个石子者获胜。
如果只有一堆石子，先手全部取完就赢了。这相当于一个\(SG(x) = x,x ∈ N\)。
这里的多堆石子相当于有多个游戏在同时进行。我们用类似第一题的方法来证明一个结论;
- 若所有石子全被取光，则\(0\ xor\ 0 ... \ xor\ 0 = 0\)是必败局面。
- 若\(a_1\ xor\ a_2 ...\ xor\ a_n = x,x≠0\),那么所有\(a_i\)中至少有一个与\(x\)最高位1相同，这样就能使得\(a_i\ xor\ x \le a_i\)。我们就可以把\(a_i\)修改为\(a_i\ xor\ x\)。此时就能满足\(a_1\ xor\ a_2 ...\ xor\ a_n = 0\)。
- 若\(a_1\ xor\ a_2 ...\ xor\ a_n = 0\)，因为\(a_1\ xor\ ...a_{i-1}\ xor\ a_{i+1}\ xor ...\ a_n=a_i\)，如果修改了\(a_i\)，等式左边不变，式子无法满足。则此时\(a_1\ xor\ a_2 ...\ xor\ a_n\)一定不为0.
异或不为0可以转化为异或为0，异或为0只能转化为异或不为0，最终必败时异或为0。
所以异或为0就是必败局面，不为0就是必胜局面。
NIM博弈反映了多个独立的博弈同时进行时的胜负情况。推广到所有博弈：
若有n个同时进行的独立博弈游戏，初始局面分别为\(a_1...a_n\)，则总SG值\(SG_{sum} = SG(a_1)\ xor\ SG(a_2)\ ...\ xor\ SG(a_n)\)
阶梯NIM
现有阶梯0-N，其中1-N上各有\(a_i\)个石子每次可以任选一堆石子，选任意多个，向下移动一阶，不能移动者失败。
结论：若\(a_1\ xor\ a_3\ ...\ xor\ a_{2k+1} = 0\)（即奇数位置上的石子异或为0），则先手败，否则先手胜。
最低阶0是偶数，把所有奇数堆看成一个NIM游戏。那么从奇数移到偶数就相当于丢弃棋子。
如果异或和不为0，先手就按照NIM的策略，移动奇数放入下一个偶数。
如果后手也玩NIM，那他就输了，最后会导致只有偶数位有棋子且轮到后手。此时后手每将棋子往下移，我们就把他移动过的棋子再向下移，最后一次移动一定在先手手里。
如果后手将偶数位的棋子，下移到奇数位，我们就继续把后手移动过的棋子移到下一个偶数位，对NIM局面没有影响，最后情况将根上一个相同。
P2148 [SDOI2009]E&D
每组石子是独立的，我们可以分别算出SG值，再异或合并。
有\(SG(x,y) = mex(\{\forall SG(a,b),a+b=x|a+b=y\})\)，这个式子不能拿去递推。
但是可以用来辅助打表，快速找到规律\(SG(x,y)= \_\_builtin\_ctz(-(x|y)+1)\)，即x|y最低位0所在位。
当然有闲心可以参考第二篇题解的严格证明：
\(设S_z为满足x+y+1=z的SG(x,y)构成的集合，则S_z等于z二进制下1的位置集合，f取最低0所在位\)
\(证：若有x+y+1=z，且有f(x|y)=k,那么x,y的第k位都是0,0～k-1位中两个数至少有1个是1\)
\(因为x|y\le x+y，x|y的0～k-1位均为1，所以x+y+1(=z)一定能向k位进位\)
\(所以只要z的第k位是1，就可以找到符合条件的x,y\)
\(SG(x,y)=mex(S_x∪S_y)=mex(S_{x ∣ y}),0为未出现，1为出现，mex与f定义相同\)
\(所以有SG(x,y)=f(x|y)\)
证明其实很难，我是跟着题解想的。
所以学会借助SG的定义打表找规律就变得很重要。
P2575 高手过招
每行是独立的，算完异或合并。
每行的空格数是不变的，那么把每个空格看成一个分割符，就是一个阶梯nim。
P1247 取火柴游戏
这题更裸，扫一遍算出异或值，再扫一遍找到二进制最高位与sum相同的，减去\(d_i-d_i\ xor\ sum\) 即可。
从以上几道题可以看出，SG函数的意义更多在于辅助思维，方便打表，而不是直接用来出解。
其他练习题：
标签：总结,...,xor,博弈论,偶数,异或,SG,mex 来源： https://www.cnblogs.com/ofnoname/p/11218552.html
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