标签：lfloor frac 题解 质数 rfloor SP1772 leq prod

考虑把矩阵消成上三角然后求对角线的值。

可以发现每一行只会消掉自己的倍数行，且系数为 \(1\)。

假设第 \(n\) 行 \(n\) 列的元素是 \(f[n]\)，有：

\[f[n]=n^k-\sum_{d\mid n,d\ne n}f[d] \]

\[f * 1=id^k \]

\[f=id^k * \mu \]

考虑每个质数幂处的这玩意儿是好算的，而且是考虑答案的乘积，所以理所当然地计算每个质数幂对答案的贡献。

能够发现有 \(\lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^{k+1}}\rfloor\) 个数包含了 \(p^k\)。所以答案是：

\[\prod_{p^k\leq n}(p^{Kk}-p^{K(k-1)})^{\lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^{k+1}}\rfloor} \]

\[\prod_{p^k\leq n}(p^{K(k-1)}(p^K-1))^{\lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor-\lfloor\frac{n}{p^{k+1}}\rfloor} \]

\[\prod_{p^k\leq n,2\leq k}\frac{p^{K(k-1)}(p^K-1)}{p^{K(k-2)}(p^K-1)}^{\lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor}\prod_{p\leq n}(p^K-1)^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor} \]

\[\prod_{p^k\leq n,2\leq k}{p^K}^{\lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor}\prod_{p\leq n}(p^K-1)^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor} \]

\[\prod_{p\leq n}p^{K\sum_{k=2}\lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor}(p^K-1)^{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor} \]

直接计算即可做到单次询问 \(O(n)\)。

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来源： https://www.cnblogs.com/lmpp/p/16459386.html

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