标签：right 数列 定理 漫谈 varphi left 周期 欧拉 mod

已知数列$\left\{a_n\right\}: 3^1,3^2,3^3 \cdots$

问第2022项个位数字多少

这个小学找规律问题很简单，$3^n$个位数以3，9，7，1为循环节循环，照这个规律很容易得到答案

作为掌握一定数论知识的我们，当然要探其渊薮

个位数的本质是mod 10，而（3，10）=1，根据欧拉定理$3^{\varphi(10)}\equiv 1(mod 10)$ $\varphi(10)=4$ 所以周期为4

进一步思考的读者会有这样的发现:

设$a_n=a^n(a\in\mathbb{N^*},n\ge1)$那么对于所有a，$\left\{a_n(mod 10)\right\}$的公共周期为4

这是容易说明的，对所有a,$\left\{a^n(mod 2)\right\}$的公共周期为1

若$5\mid a$,则$\left\{a^n(mod 5)\right\}$的周期为1，若（5，a)=1则$\left\{a^n(mod 5)\right\}$周期为$\varphi(5)=4$

因此对所有$a\in\mathbb{N^*}$,$\left\{a^n(mod 10)\right\}$的公共周期为$[\varphi(2),\varphi(5)]=4$

现在回到正轨

由此看来，一般的自然数幂取模都具有周期性

对于底数为a,模数为m的数列$\left\{a^n(mod m)\right\}$，若（a,m)=1，根据朴素欧拉定理$\varphi(m)$为一个周期

但$\varphi(m)$不一定是最小周期，由此引出了初等数论中阶（又称指数）与原根的概念

阶定义：m>1,(a,m)=1,使$a^r\equiv 1(mod m)$成立的最小$r\in{N^*}$叫a对模m的阶，记作$\delta_m(a)$

原根定义：若$\delta_m(a)=\varphi(m)$，称a是mod m的一个原根

当然，阶与原根不是我们今天的主角，感兴趣的读者可以进一步了解相关有趣的性质与定理

好奇的读者会追问，如果a与 m不互素，周期性又是怎样的呢

先来看个例子 对于$\left\{2^n(mod 20)\right\}$

2 4 8 16 32 24 8 16 32 24 $\cdots \cdots$

后面8，16，32，24以4为周期循环，但前两项不符合规律

类比循环小数的定义，我们来定义模纯周期数列与模混周期数列

对于整数列$\left\{a^n\right\}$，存在常正整数T，若从它的第N项起，恒有$a_{n+T}\equiv a_n(mod m) (n\ge N)$成立

则称$\left\{a^n(mod m)\right\}$为模m的周期数列

当N=1时称为模纯周期数列，否则为模混周期数列

这两个概念很容易理解

对于一般的自然数取模数列，若（a,m)=1则必定为模纯周期数列

若a与 m不互素,则可能为模混周期数列

在程序设计中，为了求出高次幂取模，我们常常用欧拉定理化大指数为小指数，再利用快速幂解决

当（a,m)$\ne 1$时扩展欧拉定理便派上了用场

这基于我们一个猜想：模混周期数列的非循环部分长度一定不超过$\varphi(m)$

$a^b\equiv \left\{\begin{matrix} a^{b\:mod\:\varphi(m)}\quad(a,m)=1\\ a^b\quad(a,m)\ne1,b\le\varphi(m)\\ a^{b\:mod\:\varphi(m)+\varphi(m)}\quad(a,m)\ne1,b\ge\varphi(m) \end{matrix}\right. (mod\:m)$

由于$b\le \varphi(m)$时用快速幂暴力处理即可

下面给出$b\ge \varphi(m)$证明：

首先转化成数学语言，利用带余除法定理去掉mod符号 $\exists n,r$使b=n$\varphi(m)$+r其中$0\le r<\varphi(m)$ $a^b=a^{n\varphi(m)+r}$ $a^{b\:mod\:\varphi(m)+\varphi(m)}=a^{\varphi(m)+r}$ 只需证$a^{n\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}(mod\:m)$ 处理模合数的一般方法使是分解质因数，然后用CRT（中国剩余定理）逐个击破 设$p^k\parallel m$(注：$p^k$恰好整除m),则只需证$a^{n\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}(mod\:p^k)$ 采用素因子分析法，设$a=p^rb$ (p,b)=1 推出 （$p^ k$,b)=1 由欧拉定理 $b^{\varphi(p^k)}\equiv 1(mod\:p^k)$ 由欧拉函数积性，$\varphi(p^k)|\varphi(m)$ 所以 $b^{\varphi(m)}\equiv 1(mod\:p^k)$ 利用这个式子对目标化简 $a^{n\varphi(m)}\equiv p^{nr\varphi(m)}(mod\:p^k)$ $a^{\varphi(m)}\equiv p^{r\varphi(m)}(mod\:p^k)$ 只需证 $p^{nr\varphi(m)}\equiv p^{r\varphi(m)}(mod\:p^k)$ 分类讨论 若r=0,显然成立 若r>0,根据$\varphi(m)\ge\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\ge 2^{k-1} \ge k$ 左右两边都同余到0，所以也成立

综上得证

这个证明的核心步骤是$a^{n\varphi(m)}\equiv a^{\varphi(m)}(mod\:m)$

任取$n\ge 1$都成立，其实就是暗示模混周期数列的非循环部分长度一定不超过$\varphi(m)$，并且循环节的长度也不超过$\varphi(m)$

理解这个原理，就可以轻松做洛谷P5091 【模板】扩展欧拉定理啦

标签：right,数列,定理,漫谈,varphi,left,周期,欧拉,mod
来源： https://www.cnblogs.com/xvzichen/p/16391475.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。