标签：le frac arc106 sum right res Powers left

题意：

给定整数 \(K\) 和长为 \(n\) 的数组 \(a[]\)，对每个 \(1\le X\le K\) 计算

\[\left( \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n (a_i+a_j)^X \right) \mod 998244353 \]

\(2\le n\le 1e5, 1\le K\le 300, 1\le a_i\le 1e8\)

思路：

设

\[res=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n (a_i+a_j)^X \]

那么答案就是 \(\left(res-\sum\limits_{i=1}^n (2a_i)^X \right)/2\)

展开 \(res\)，

\[\begin{aligned} res &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^X C_X^k a_i^k a_j^{X-k} \\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{k=0}^X X!\frac{a_i^k}{k!} \frac{a_j^{X-k}}{(X-k)!} \\ &= X! \sum_{k=0}^X \left(\sum_{i=1}^n \frac{a_i^k}{k!}\right) \left(\sum_{j=1}^n \frac{a_j^{X-k}}{(X-k)!}\right) \end{aligned} \]

\(O(nX)\) 预处理 \(f(K)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{a_i^K}{K!}\)，则可以 \(O(X)\) 得到每个 \(X\)，总复杂度 \(O(NK+K^2)\)

为了写代码方便，写成

\[sum(K)=\sum_{i=1}^n a_i^K \\ res = \sum_{k=0}^X C_X^k \sum_{i=1}^n a_i^k \sum_{i=1}^n a_i^{X-k} = \sum_{k=0}^X C_X^k sum(k) sum(X-k) \\ ans = \left(res-2^X\sum_{i=1}^n a_i^X \right)/2 = \left(res-2^Xsum(X) \right)/2 \]

ll n, K, a[N], sum[303];

void sol() {
    cin >> n >> K;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++) { //预处理sum[]
        ll apow = 1; //a[i]^k
        for(int k = 0; k <= K; k++)
            add(sum[k], apow), mul(apow, a[i]);
    }
    
    for(int X = 1; X <= K; X++) {
        ll ans = -qmi(2, X) * sum[X] % mod;
        for(int k = 0; k <= X; k++)
            add(ans, sum[k] * sum[X-k] % mod * C(X, k) % mod);
        mul(ans, qmi(2, mod-2)); //除以2
        cout << ans << endl;
    }
}

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来源： https://www.cnblogs.com/wushansinger/p/16347262.html

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