标签：gcd 同余 iff 数模 同余于 equiv mod

同余

一.定理

• $ a \equiv b~ (mod ~m) _{\Leftrightarrow} a-b=mt $
• $ a \equiv b~ (mod ~m) _{\Leftrightarrow} b \equiv a~ (mod ~m) $
• $ a\equiv b _(mod m) ~ c\equiv b ~ (mod ~m) \iff a\equiv c ~ (mod ~m) $
• $ a\equiv b _(mod m) ~ c\equiv d ~ (mod ~m) \iff a+c\equiv b+d ~ (mod ~m) $
• $ a\equiv b _(mod m) ~ c\equiv d ~ (mod ~m) \iff a-c\equiv b-d ~ (mod ~m) $
• $ a\equiv b _(mod m) ~ c\equiv d ~ (mod ~m) \iff ac\equiv bd ~ (mod ~m) $

二.推论

• 若 $ a \equiv b~ (mod ~m) \(，\) n \(为自然数 ，则\) an \equiv bn~ (mod ~m) $ 。

• 若 $ a \equiv b~ (mod ~m) \(，\) n \(为自然数 ，则\) a^n \equiv b^n~ (mod ~m) $ 。

• 若 $ ca\equiv cb ~ (mod ~ m) , gcd(c,m)=d $ ，且 $ a,b,c,m $为整数，则 $ a\equiv b ~(mod ~ \frac{m}{d}) $。

  证明 ：
  显然 $ m|c(a-b) \iff m|d(c/d)(a-b)$ 且 $ m \perp (c/d) \( 所以\) \frac{m}{d}|a-b \iff a \equiv b~(mod ~ \frac{m}d) $

• 若 $ ca\equiv cb ~ (mod ~ m) , gcd(c,m)=1 $ ，且 $ a,b,c,m $为整数，则 $ a\equiv b ~(mod ~ {m}) $。

• 若 $ a\equiv b ~ (mod ~ m) ,\exists d|m $ ，则 $ a\equiv b ~(mod ~ {d}) $。
  证明：
  易得 $ m|a-b $
  由于 \(a-b\) 中必有m的全部因子，所以显然 $ d|a-b $
  所以 $ a\equiv b ~(mod ~ {d}) $

• 若 $ a\equiv b_(modm),a\equiv b _(modn) $，则 $ a\equiv b _(modlcm(n,m)) $
  证明：
  设 $ d=gcd(n,m)_m=x*dn=yd~lcm(n,m)=xyd\( \) \iff xd|a-b,yd|a-b \( \) \iff xy*d|a-b\( \) \iff lcm(n,m)|a-b \( \) \iff a\equiv b_(modlcm(n,m))$
• 若 $ a\equiv b_(modm_i),i=1,2,3,....,n $ 则 $ a\equiv b_(modlcm(m_1,m_2,..,m_n)) $

• $ a\equiv b_(modm) \Rightarrow ak\equiv bk _(modmk) \( **证明**： \) \Rightarrow m|a-b \Rightarrow mk|ak-bk \iff ak\equiv bk _(modm*k) $

• $ a\equiv b ~ (mod~m) \Rightarrow gcd(a,m)=gcd(b,m) \( **证明**： \) \gcd(a,m)=\gcd(m,a \bmod m) $ 且 $ \gcd(b,m)=\gcd(m,b \bmod m) \( \) \because a\equiv b ~ (mod~m) \( \) \therefore a%m=b%m \( \) \therefore gcd(a,m)=gcd(b,m) $

6.完全平方数模的特征

• 完全平方数模 $ 4 $ 同余于 $ 0,1 $

• 完全平方数模 $ 8 $ 同余于 $ 0,1,4 $

• 完全立方数模 $ 9 $ 同余于 $ 0,1,-1 $

• 整数的四次幂模 $ 16 $ 同余于 $ 0,1 $

标签：gcd,同余,iff,数模,同余于,equiv,mod
来源： https://www.cnblogs.com/LQX-OI/p/16323462.html

本站声明： 1. iCode9 技术分享网（下文简称本站）提供的所有内容，仅供技术学习、探讨和分享；
2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
3. 关于本站的所有言论和文字，纯属内容发起人的个人观点，与本站观点和立场无关；
4. 本站文章均是网友提供，不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属；如您发现该文章侵犯了您的权益，可联系我们第一时间进行删除；
5. 本站为非盈利性的个人网站，所有内容不会用来进行牟利，也不会利用任何形式的广告来间接获益，纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。