标签：ix Xor limits 139F sum Optimization 线性 prod mx
「ARC 139F」Many Xor Optimization Problems
对于一个长为 \(n\) 的序列 \(a\)，我们记 \(f(a)\) 表示从 \(a\) 中选取若干数，可以得到的最大异或值。
现在给定 \(n,m\)，你需要对于所有长为 \(n\)，且 \(0\le a_i<2^m\) 的序列，计算 \(f(a)\) 的和。
\(1\le n,m\le 250000\)。
PS：本题解的做法可以做到 \(n=10^9,m=10^7\)。
Solution
考虑给定序列 \(a\)，我们计算 \(a\) 的正交线性基，不妨设基底有 \(k\) 个元素，其最高位分别为 \(a_1<a_2<\cdots<a_k\)。显然最大异或值就是这 \(k\) 个元素之和。
这启发我们去枚举 \(k\) 以及 \(a_1,\cdots,a_k\) 计算对答案的贡献，贡献由三部分相乘得到：
-
多少个序列 \(a\)，满足它的正交线性基满足基底有 \(k\) 个元素，且最高位分别为 \(a_1,\cdots,a_k\)；
-
这 \(k\) 个元素期望和；
-
序列 \(a\) 的这 \(k\) 个基底的其他 \(m-k\) 位的填法。
对于第 1 部分，我们先只关心这 \(k\) 个位，考虑如下流程：
- 初始线性基 \(S\) 大小为空；
- 加入 \(a_i\)：
- 它与线性基内元素线性相关。那么有 \(2^{|S|}\) 种方案；
- 它与线性基内元素线性无关。那么有 \(2^k-2^{|S|}\) 种方案。
因此，方案为：
\[[x^{n-k}]\prod\limits_{i=0}^{k} \frac{1}{1-2^ix}\times \prod\limits_{i=0}^{k-1}(2^k-2^i) \]容易看出前半部分为经典的 q-binomial，令 \(H(x)=\sum\limits_{k} \binom{n}{k}_2 x^k\)，容易递推求出其所有项。
对于第 2 部分，显然这 \(k\) 位必定是 \(1\)，其余位都以 \(\frac 1 2\) 的概率是 \(1\)，因此期望和为：
\[\frac{2^{a_k+1}-1+\sum\limits_{i=1}^{k}2^{a_i}}{2} \]对于第 3 部分，由于是正交线性基，因此对于 \(a_j\) 所在的元素而言，所有 \(a_i<a_j\) 的 \(a_i\) 位必须为 \(0\)，其他位没限制，因此方案数为：
\[\prod\limits_{i=1}^{k}2^{a_i-(i-1)} \]将三部分相乘，得到：
\[[x^k]H(x)\prod\limits_{i=0}^{k-1}(2^k-2^i)\times \frac{2^{a_k+1}-1+\sum\limits_{i=1}^{k}2^{a_i}}{2}\times \prod_{i=1}^{k} 2^{a_i-(i-1)} \]计算这个式子，我们拆成 \(-1\)、\(\sum\limits_{i=1}^{k}2^{a_i}\)、\(2^{a_k+1}\) 三块分别计算。
- 第一块
显然要的就是 \([x^k]\prod\limits_{i=0}^{m-1}(1+2^ix)\)。
设 \(G(x)=\prod\limits_{i=0}^{m-1} (1+2^ix)\)，易知：
\[(1+2^mx)G(x)=(1+x)G(2x) \]对比 \([x^i]\) 项系数得：
\[[x^i]G+2^m[x^{i-1}]G=2^i[x^i]G+2^{i-1}[x^{i-1}]G \]可以 \(\mathcal O(m)\) 递推得到。
- 第二块
这次乘上了 \(\sum a_i\) 的贡献，注意到 \(\sum a_i\) 可以看成是 \(2^m-1\) 再减去不在 \(a_i\) 的那些 \(2^i\)。
于是贡献就很显然了，是 \((2^m-1)[x^k]G-(k+1)[x^{k+1}]G\)。
- 第三块
这次乘上了最大值（\(a_k\)）的贡献，考虑枚举最大值为 \(mx\)：
\(F(x)=\sum\limits_{mx=0}^{m-1}(2^{mx})^2\prod\limits_{i=0}^{mx-1}(1+2^ix)\)，易知：
\[\left(F(x)-1+(2^m)^2\prod_{i=0}^{m-1}(1+2^ix)\right)=4(x+1)F(2x) \]对比 \([x^i]\) 项系数得：
\[[x^i]F+2^{2m}[x^i]G=2^{i+2}[x^i]F+2^{i+1}[x^{i-1}]F \]仍可以 \(\mathcal O(m)\) 得到。
因此总时间复杂度 \(\mathcal O(m+\log \text{mod})\)。
参考代码可以见 此 link，我偷懒所以逆元部分写的带 log 了，以及求 \(2^{n}\) 的地方带上了 \(\mathcal O(n)\)。
标签：ix,Xor,limits,139F,sum,Optimization,线性,prod,mx 来源： https://www.cnblogs.com/wlzhouzhuan/p/16191729.html
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