标签:lfloor le 分块 数论 ll rfloor ab ans
前置知识
- 对于\(N^*=\{\lfloor n/i \rfloor|i\in[1,n]\}\).
(1) 满足 \(\lfloor n/i \rfloor,x\in N^*\) 的最大的 \(i\) 为 \(\lfloor n/x \rfloor\).
(1)证明:
显然有 \(x\le n/i < x+1\)
\(\Leftrightarrow ix \le n < i(x+1)\)
\(\Leftrightarrow n/(x+1) < i \le n/x\)
又由于 \(i\in Z\) ,所以 \(\lfloor n/(x+1) \rfloor +1 \le i \le \lfloor n/x \rfloor\)
Q.E.D.
稍微变一下就是 \(\lfloor n/\lfloor n/i \rfloor \rfloor\)
而且我们证明最后得到的结论也很好用:
\[\lfloor n/(x+1) \rfloor +1 \le i \le \lfloor n/x \rfloor \]然后给出一个关于向下取整的性质:
- \(\lfloor n/ab \rfloor=\lfloor \lfloor n/a \rfloor/b \rfloor\)
证明:
令 \(a/b=\lfloor n/a \rfloor +s\ (0 \le s < 1)\)
那么 \(\lfloor n/ab \rfloor=\lfloor 1/b(\lfloor n/a \rfloor+s) \rfloor =\lfloor \lfloor n/a \rfloor b \rfloor\)
对此我们可以计算 \(\sum_{i=1}^{n}\lfloor n/i \rfloor\)
OI wiki上的图明了的解释了这一切
发现函数值是连续一段一段的,直接有了写方的代码。
ll l=1,r=0,ans=0;
while(l<=n){
r=n/(n/l);
ans=ans+(r-l+1)*(n/l);
l=r+1;
}
printf("%d\n",ans);
整数分块
用来计算形如 \(\sum_{i=1}^{n}f(i)g(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)\) 的和式。
实际上是上面的那个东西的推广。
其实没多大差别,我们只需要能够求出一段的连续区间的权值和即可,这个我们用前缀和即可。
ex:
ll l=1,r=0,ans=0;
while(l<=n){
r=n/(n/l);
ans=ans+(sum[r]-sum[l-1])*(n/l);
l=r+1;
}
printf("%d\n",ans);
没了,结束。
标签:lfloor,le,分块,数论,ll,rfloor,ab,ans 来源: https://www.cnblogs.com/cbdsopa/p/15930746.html
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