标签:剩余 gcd 定理 Excrt ans quad lcm ll fo
算法原理
\(\quad\)中国剩余定理是用来解决如下相关式子
\(\quad\)解法步骤简要分析:
\(\quad\)设前 k-1 个方程解出的答案为 ans ,前 k-1 个 m 的 lcm=M ,则新的 ans 为 (ans+M*x),且
\[ans+(M\times x)\equiv a_k \pmod {m_k} \]\(\quad\)这里的 x 是个系数。
\(\quad\)那么转换为
\[M\times x+m_k\times y=a_k-ans \]\(\quad\)那么这个式子用扩欧可以解决,直接解出 x 即可。
int main(){
k=read();
fo(i,1,k){
scanf("%lld%lld",&b[i],&a[i]);
}
fo(i,1,k) a[i]=(a[i]+b[i])%b[i];///预处理
ll ans=0,lcm=1,A,B,C,gcd,x,y;
fo(i,1,k)
{
A=lcm;
B=b[i];
C=(a[i]-ans%b[i]+b[i])%b[i];
ll gcd=exgcd(A,B,x,y);
if(C%gcd>0){
return 0;
}
x=mul(x,C/gcd,b[i]);
ans+=lcm*x;
lcm=lcm/gcd*b[i];
ans=(ans%lcm+lcm)%lcm;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
例题
\(\quad\)首先可以容易列出一系列同余方程,用 excrt 可以求解,但是这个题目要注意,打败巨龙还有一个条件就是至少要将它的血量达到负数或 0 才行。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fo(i,j,k) for(int i=j;i<=k;i++)
using namespace std;
const int maxn=100005;
int T,n,m,b[maxn],t[maxn];
long long a[maxn],p[maxn],mx;
multiset<long long> s;
multiset<ll>::iterator it;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(!b)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
ll tx=x;
x=y;
y=tx-a/b*y;
return d;
}
ll excrt()
{
ll ans=0,lcm=1,x,y,gcd,A,B,C;
fo(i,1,n)
{
A=(__int128)b[i]*lcm%p[i];
B=p[i];
C=(a[i]-b[i]*ans%p[i]+p[i])%p[i];
gcd=exgcd(A,B,x,y);
x=(x%p[i]+p[i])%p[i];
if(C%gcd) return -1;
ans+=(__int128)(C/gcd)*x%(B/gcd)*lcm%(lcm*=B/gcd);
ans%=lcm;
}
if(ans<mx) ans+=((mx-ans-1)/lcm+1)*lcm;//第二处
return ans;
}
int main()
{
cin>>T;
while(T--)
{
s.clear(),mx=0;
cin>>n>>m;
fo(i,1,n) cin>>a[i];
fo(i,1,n) cin>>p[i];
fo(i,1,n) cin>>t[i];
fo(i,1,m)
{
int x;
cin>>x;
s.insert(x);
}
fo(i,1,n)
{
it = s.upper_bound(a[i]);
if(it!=s.begin()) it--;
b[i]=*it;
s.erase(it);
s.insert(t[i]);
mx=max(mx,(a[i]-1)/b[i]+1);//第一处
}
cout<<excrt()<<endl;
}
return 0;
}
标签:剩余,gcd,定理,Excrt,ans,quad,lcm,ll,fo 来源: https://www.cnblogs.com/SPzos017/p/15895705.html
本站声明: 1. iCode9 技术分享网(下文简称本站)提供的所有内容,仅供技术学习、探讨和分享; 2. 关于本站的所有留言、评论、转载及引用,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 3. 关于本站的所有言论和文字,纯属内容发起人的个人观点,与本站观点和立场无关; 4. 本站文章均是网友提供,不完全保证技术分享内容的完整性、准确性、时效性、风险性和版权归属;如您发现该文章侵犯了您的权益,可联系我们第一时间进行删除; 5. 本站为非盈利性的个人网站,所有内容不会用来进行牟利,也不会利用任何形式的广告来间接获益,纯粹是为了广大技术爱好者提供技术内容和技术思想的分享性交流网站。