莫比乌斯函数
定义
\[\mu(n)= \begin {cases} 1&n=1\\ 0&\text{存在一个n的非1因子为完全平方数,即n的某个质因子幂次不小于2}\\ (-1)^k&\text{n的所有质因子幂次都为1,其中k为n的不相等质因子个数} \end {cases} \]性质
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莫比乌斯函数是积性函数。
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对于任意 \(n\in Z^*\) , \(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\).
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对于任意 \(n\in Z^*\) , \(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n}\)
求解
void get_mu(int n)
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!NotPr[i]) pr[++cnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=cnt&&pr[j]*i<=n;++j)
{
NotPr[pr[j]*i]=1;
if(!(i%pr[j])) break;
mu[pr[j]*i]=-mu[i];
}
}
}
莫比乌斯反演
定义
存在两个定义域为 \(N*\) 的函数 \(F(x)\) 和 \(f(x)\) ,满足:
\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]则有:
\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor) \]\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \]标签:frac,乌斯,sum,mu,反演,因子,莫比 来源: https://www.cnblogs.com/Trinity31/p/15776710.html
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