莫比乌斯反演 莫比乌斯函数 定义 将 \(n\) 质因数分解 \[n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha _i} \]则 \[\mu (n)= \left\{\begin{matrix} 1, &n=1 \\ 0, & \exists \alpha _i>1\\ (-1)^k, & \forall \alpha _i=1 \end{matrix}\right.\]性质 积性函数. \(s(n) =
前置知识 数论分块 一些基础数论知识 积性函数 定义：如果一个数论函数 \(f(x)\)，对于任意的在其定义域中的 \(x,y\)，满足 \(f(xy)=f(x)f(y)\ \ (\gcd(x,y)=1)\)，则称 \(f(x)\) 为积性函数(Multiplicative Function)。 若 \(f(xy)=f(x)f(y)\)，则称其为完全积性函数(Completely Multipl
前情提要： 关于莫比乌斯翻译，是真的懵逼吾死，莫比乌斯函数（好理解），狄利克雷卷积（能懂不会用），莫比乌斯反演（队友泪两行），杜教筛（呵呵），因为看了两天自己不能自理的推出来，所以写个博客帮助下理解，懂了就改。。。。。。。 需要提前知道的知识： 积性函数：对于所有互质的整数都有f(ab)=f(a)f(b)的
1.P3704-[SDOI2017]数字表格[莫比乌斯反演] Problem 有一个\(n\times m\)的表格，坐标\((i,j)\)处的数字是\(f_{gcd(i,j)}\)，其中\(f\)是斐波那契数列，要求计算\(\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{gcd(i,j)}\)，答案对\(10^9+7\)取模 Solve \[\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf_{gcd(i,j)}\\ =\p
学校题单里总共 8 个莫比乌斯反演，结果被一句话干掉 5 个！！！ 标题党.jpg 见 Möbius 反演注记 干掉的题目：YY的GCD，数表，DZY Loves Math，数字表格，于神之怒加强版 . 正片开始： 随便一个数论函数 \(f\)，你要求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(\gcd(i,j)) \]首先构造一个数论函数 \(g\)，使得 \(g*
一.莫比乌斯反演公式 $ $ $\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$ 设 $F(n) = \sum\limits_{d|n}f(d)$ ，那么有 $f(n) = \sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})$ 其中 $\mu(d)$ 是这样一个函数： $ d = 1 $ 时 $\mu(d) = 1$ $ d = \prod\limits_{i=1}^k p_{i} ( p_{i} 为互异素数
莫比乌斯反演 坑是开了，补不补就另说了（（（ 1.数论分块 重要结论： 对于常数 \(n\)，满足\[\lfloor \frac{n}{i}\rfloor=\lfloor \frac{n}{j}\rfloor \]成立的最大的满足 \(i \le j \le n\) 的 \(j\) 的 $\left\lfloor{\frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }}\right\rfloor $ 。即块 \(\l
这东西是真的神奇，但是稍微熟悉了之后就感觉没啥了 莫比乌斯函数 定义 我们通常记 \(\mu(x)\) 为莫比乌斯函数 \[\mu(x) = \left\{ \begin{aligned} &1 &&x=1 \\ &0 &&x 含有平方因子 \\ &(-1)^k &&k为本质不同的 x 的质因子的数量 \\ \end{aligned} \right. \]我们先不用考虑这东
积性函数 积性函数：对于任意互质的整数 \(a,b\) 有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 则称 \(f(x)\) 的数论函数。 完全积性函数：对于任意整数 \(a,b\) 有 \(f(ab)=f(a)f(b)\) 的数论函数。 常见的积性函数：\(\varphi,\mu,\sigma,d\) 常见的完全积性函数：\(\epsilon,I,id\) \(\epsilon(n) = [n=
1 1.对于L,R； 2 找到最大的R，使得[n/l]=[n/r]; 3 n/r>=[n/r]-->r<=n/[n/r] 4 <<=>> 5 r<=n/[n/l]; 6 7 2. 8 [[n/x]/y]=[n/xy] 9 10 3.杜教筛 11 i >= 1 && i <= n j >= 1 && j <= n 12 求它们的互质对数 13 令f(n)=它们的互质对数； 14
狄利克雷卷积 定义:\((f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(n/d)\) 很显然满足交换律和结合律。 积性函数 为积性函数的有: \(I (n)\) (或\(1(n)\) ),恒等于1，所以叫恒等函数 \(\epsilon (n)\) (或者\(e(n)\) ),当且仅当 \(n=1\) 时，其值为 \(1\),否则为 \(0\),其满足(\(e*f=f\))(因此为狄利克
随便贴一下而已 莫比乌斯函数 不知道是不是受那个带子的影响，莫比乌斯这个名字有种扭曲的美感，莫比乌斯函数也是这样。莫比乌斯函数 μ ( d )
莫比乌斯[湖北省队互测2014]一个人的数论$Ans=\sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(n,i)==1]$$Ans=\sum_{i=1}^{n}i^d\sum_{p|i.p|n}u(p)$推不下去了,换一个想法$F(n)=\sum_{i=1}^ni^d$$G(n)=\sum_{i=1}^{n}i^d[gcd(i,n)==1]$$F(n)=\sum_{i|n}i^dG(\frac{n}{i})$原理就相当于,每个数字只被一个
莫比乌斯函数 定义 \[\mu(n)= \begin {cases} 1&n=1\\ 0&\text{存在一个n的非1因子为完全平方数，即n的某个质因子幂次不小于2}\\ (-1)^k&\text{n的所有质因子幂次都为1，其中k为n的不相等质因子个数} \end {cases} \]性质 莫比乌斯函数是积性函数。 对于任意 \(n\in Z^*\) ， \(\su
看了半天巨神 \(\color{red}{C}\color{black}{Yjian}\) 的题解才终于想明白。 规定变量： 题中\(d\to k\) 题中\(n\to m\) (下文的 \(n\) 制作未知数 令 \(F(n)=\sum_{i=1}^ni^k\) ， \(g(n)=\sum_{i=1}^ni^k[\gcd(n,i)=1]\) ，那么莫比乌斯反演，有 \[F(n)=\sum_{d|n}d^kg(\frac{n}{d})
直接给定形式吧。 不给证明了。 或卷积 \(c_i = \sum_{i | j =k} a_i * b_i\) 写作\(FWT(A)_i = \sum_{j \in i}A_j\) 将\(A\)对半分为\(A_0,A_1\) \(FWT(A) = \left\{ \begin{aligned} (FWT(A_0),FWT(A_0) + FWT(A_1))\\ A(len_A = 0) \end{aligned} \right.\) 先转成\(FWT\)后，两
狄利克雷卷积与数论函数： 狄利克雷卷积写作： \[f(x)*g(x)=(f*g)(x) \]定义： \[(f*g)(x)=\sum_{d|n}^nf(d)*g(n/d) \]也可以写作： \[(f*g)(x)=\sum_{x*y=n}^nf(x)*g(y) \]狄利克雷卷积满足交换律与结合律： \[\begin{cases} (f*g)(n)=\sum_{x*y=n}^n\limits f(x)*g(y)=\sum_{x*y=n}^n\li
数学反演总结 1 数论分块 1.1 定理 定理 1.1.1 \[\left\lfloor\frac {\left\lfloor \frac{x}{b} \right\rfloor}{c} \right\rfloor=\left\lfloor\frac{x}{bc}\right\rfloor \]其中 \(x\in\R,b,c\in\N\) 证明：设 \(x=kbc+r\)，其中 \(r\in[0,bc)\) ，我们把 \(x\) 带入左边式子
前置知识 莫比乌斯反演 上面的标题应该改为后置知识 前言 最近在嗑莫比乌斯函数时嗑到了这个知识点，本质上是一个经常与莫比乌斯反演一起出现的小技巧，包括在很多莫比乌斯反演的题目中。 算法过程 整除分块通常被用来处理类似下方的式子： \[\sum_{i=1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rflo
前言 蒟蒻又来水博客了！！！ 昨天听冯巨讲解了莫比乌斯反演+线性筛法，马上来写一道模板题； 首先分析题意，我们用脑子推一下就知道了答案 \[Ans(n) =\sum_{x=0}^{n-1}\sum_{y=0}^{x}[gcd(i,j)=1]\\ \]
题目 数字染色 给出一个正整数序列，求有多少子序列的gcd不为1。 求解 假设子序列gcd为x，那么只需求出x的倍数的数量m，gcd为x的子序列数量即为 2 m −
今天磨了一天莫比乌斯函数,做了两个题,对莫比乌斯有了一丢丢的理解,想做做笔记,就写这篇博客了. 先介绍一下什么是积性函数.当存在gcd(a,b)=1,且满足f(a,b)=f(a)*f(b)时,f(x)为积性函数对任意a,b都有f(a,b)=f(a)*f(b),那么就称为完全积性函数.然后积性函数有一条非常重要的性质,
目录 前言参考资料 莫比乌斯反演预备知识：整数分块（感觉就是一个思想）总结 莫比乌斯函数 μ \mu μ（数论函数也可以视作一个数列）总结 莫比
莫比乌斯反演 目录莫比乌斯反演前言来源容斥原理推欧拉函数莫比乌斯函数的应用莫比乌斯函数性质莫比乌斯反演反演约数形式证明反演倍数形式证明相关题目 前言 本来是一个返校后发困的上午，但是我新奇的点开了牛客去补题，结果发现【您中奖了！牛客抱枕++】，顿时心血来潮，困意一冲而散。哎
link 题意： 长度为n的数组a，求gcd>1的子序列个数 思路： 考虑用容斥，把gcd拆成素数的乘积，先对a中的所有数都进行因子分解，然后每次计算，gcd是某个值x的倍数的方案数，那么对于任意因子p1p2p3…,我们考虑去重即可，会发现刚好是莫比乌斯的mu函数，质因子为2和以上的就不用算了，我们考虑单质
