标签：infty 变换 omega 正弦波 笔记 频域 频率 傅里叶
傅里叶变换
时域和频域
音乐类比：波形图是时域，乐谱（音符）是频域
单个音符是一个正弦波，不同振幅不同相位的正弦波叠加，可以构成任意波形
也就是说，任何周期函数都可以由正弦波叠加而成
傅里叶级数的频谱
我们用一系列正弦波叠加成矩形波
称不同频率的正弦波为频率分量
特别地，0频率（直线）被称为直流分量，它只造成整体上下平移
它的频域是这样的
为什么？
从三维空间看这些正弦波，如下：
时域就是正面看，频域就是侧面看
傅里叶变换就是时域和频域之间的转换
傅里叶级数的相位谱
很多在时域不好做的操作，在频域可以轻松做到
确定一条正弦波需要知道振幅、频率和相位，从侧面看保留了振幅（y轴）和频率（x轴）信息
相位信息从哪来？
我们将离频率轴最近的波峰标记一个红点，再投影到下平面上，就得到了相位谱
傅里叶变换
终于到了傅里叶变换部分
我们要通过它，将时域的连续信号转化为频域的连续信号
区别于傅里叶级数，它将时域的连续信号转化成频域的离散信号
离散信号足够密集，就类似连续信号了
也就从求和符号变成积分符号了
欧拉公式
\[e^{ix}=\cos x+i\sin x \]乘以\(i\)可以看成旋转90°（参考三蓝一棕）
从复平面法向量方向拉一条时间轴，用\(t\)替换\(x\)，那么\(e^{it}\)可以看成一条螺旋线
指数形式的傅里叶变换
由上图，正弦波的叠加，可以看成螺旋线的叠加在实数空间的投影
振幅——旋转半径
频率——旋转周期
相位——位置
最终结果是这样的
一维公式
时域信号f(t)的傅里叶变换为
\[F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \]理解：对每个t，求\(f(t)\)和\(e^{-j\omega t}\)的内积，再求和，即\(f(t)\)在正弦波\(e^{-j\omega t}\)上的投影
反变换为
\[f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega \]二维公式
将一个图像分解成复平面波之和
\[F(u,v)=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy \]同样可以理解为：图像与不同频率不同方向的复平面波内积求和，即投影的过程
K空间
K空间即二维频率域
确定一个二维正弦平面波需要四个参数：振幅、频率、相位和方向向量
用复数存储幅振幅和相位，用二维向量表示频率和方向
（向量的方向为正弦波方向，向量的模长为频率，向量终点存复数）
理解一下，越靠近中心原点，模长越小，频率越小，对应低频信息，提供主体信息
反之，越远离中心，模长越大，频率越大，对应高频信息，提供细节信息
更好地理解了SOD里的结论：
high-level features help locate the salient objects roughly, low-level features help refine boundaries.
这些向量放到二维平面中，就是K-SPACE了
K空间的每个复数代表了复平面波在原图像中占有多少成分，复系数乘以平面波相加就能得到原图像
平面波是基，K空间的数是系数，叠加就是原信息
K空间里的相位保留位置信息，幅度保留强度信息
图像旋转，K空间也旋转
Convolution Theorem
空间卷积=频域乘积
类似FFT，要对两个图像卷积，先分别FT，再相乘，再IFT即可
Sampling Theorem
如果f(x,y)的傅里叶变换对频率大于\(u_b\)和\(v_b\)的都为0
那么只要采样距离\(w\le\dfrac{1}{2u_b}\),\(h\le\dfrac{1}{2v_b}\)，原图像就可以被完全恢复
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